Discussion:
Problème avec une Equivalence
(trop ancien pour répondre)
Zarake
2017-06-01 17:33:20 UTC
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Soit x → f (x) une application surjective de Z dans Z
Soit ~ la relation d'équivalence x ~ y <=> f(x) = f(y) . On appelle
[x] la classe d'équivalence de x

On définit une opération interne x ⊕ y = z de la façon suivante :
On calcule f(x) + f(y). Tous les autres représentants de [x] et de
[y] donnent le même résultat.
C'est à dire que si x ~ x' et y ~ y' alors f(x) + f(y) = f(x') +
f(y'). Le résultat ne dépend que des classes [x] et [y] et non pas des
représentants. On a donc [x] ⊕ [y] = [x ⊕ y]

On définit ⊕ par : [x] ⊕ [y] = [x ⊕ y] = [f(x) + f(y)]

Exemple : f(x) = x^2 ;
x ~ y <=> x^2 = y^2 => y = +-x => [x] = {x, -x}
[x] ⊕ [y] = [x^2 + y^2]

[2] ⊕ [3] = [4 + 9] = [13] = {13, -13}
Le pb est qu'il n'existe aucun x de Z tel que f(x) = x^2 = 13 .

Ou est l'erreur dans mon raisonnement ?
Quelle condition doit satisfaire f
Samuel DEVULDER
2017-06-01 17:42:59 UTC
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Post by Zarake
Exemple : f(x) = x^2 ;
Mauvais exemple: f n'est pas surjective.
Samuel DEVULDER
2017-06-01 18:13:23 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Mauvais exemple: f n'est pas surjective.
De Z dans Z ou Z+ s'entends.
Olivier Miakinen
2017-06-01 18:17:21 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Post by Zarake
Exemple : f(x) = x^2 ;
Mauvais exemple: f n'est pas surjective.
Ah oui, je n'avais pas lu que c'était une condition posée par Zarake.

Si f est surjective, alors quels que soient x et y il existe toujours
au moins un z tel que f(z) = f(x) + f(y). Mais en revanche il peut
encore en exister plusieurs, et donc la loi de composition interne
n'est toujours pas correctement définie dans Z.
--
Olivier Miakinen
Olivier Miakinen
2017-06-01 17:57:46 UTC
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Bonjour,
Post by Zarake
Soit x → f (x) une application surjective de Z dans Z
Soit ~ la relation d'équivalence x ~ y <=> f(x) = f(y) . On appelle
[x] la classe d'équivalence de x
On calcule f(x) + f(y). Tous les autres représentants de [x] et de
[y] donnent le même résultat.
???

Tu ne définis pas clairement z, et du coup tu n'as pas défini
ton opération interne.

Tu veux dire, je suppose que ton z censé être égal à x ⊕ y est
tel que f(z) = f(x) + f(y). Mais un tel z, d'abord il peut en
exister plusieurs (auquel cas je voudrais savoir comment tu le
choisis), mais aussi bien il peut ne pas en exister du tout.
Post by Zarake
C'est à dire que si x ~ x' et y ~ y' alors f(x) + f(y) = f(x') +
f(y'). Le résultat ne dépend que des classes [x] et [y] et non pas des
représentants.
Certes, mais tu n'as toujours pas défini de z égal à x ⊕ y.
Post by Zarake
Ou est l'erreur dans mon raisonnement ?
C'est que tu n'as pas défini proprement ta loi de composition
interne.
Post by Zarake
Quelle condition doit satisfaire f
Si f est bijective de Z dans Z, alors tu pourrais définir ⊕
de la façon suivante : x ⊕ y = f^-1(f(x) + f(y)). Mais dans
ce cas les classes d'équivalence ne présentent plus beaucoup
d'intérêt puisque chaque entier forme une classe à lui tout
seul.
--
Olivier Miakinen
Olivier Miakinen
2017-06-01 18:05:46 UTC
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[Supersedes pour ajouter une virgule sans laquelle on ne comprend
pas grand chose]

Bonjour,
Post by Zarake
Soit x → f (x) une application surjective de Z dans Z
Soit ~ la relation d'équivalence x ~ y <=> f(x) = f(y) . On appelle
[x] la classe d'équivalence de x
On calcule f(x) + f(y). Tous les autres représentants de [x] et de
[y] donnent le même résultat.
???

Tu ne définis pas clairement z, et du coup tu n'as pas défini
ton opération interne.

Tu veux dire, je suppose, que ton z censé être égal à x ⊕ y est
tel que f(z) = f(x) + f(y). Mais un tel z, d'abord il peut en
exister plusieurs (auquel cas je voudrais savoir comment tu le
choisis), mais aussi bien il peut ne pas en exister du tout.
Post by Zarake
C'est à dire que si x ~ x' et y ~ y' alors f(x) + f(y) = f(x') +
f(y'). Le résultat ne dépend que des classes [x] et [y] et non pas des
représentants.
Certes, mais tu n'as toujours pas défini de z égal à x ⊕ y.
Post by Zarake
Ou est l'erreur dans mon raisonnement ?
C'est que tu n'as pas défini proprement ta loi de composition
interne.
Post by Zarake
Quelle condition doit satisfaire f
Si f est bijective de Z dans Z, alors tu pourrais définir ⊕
de la façon suivante : x ⊕ y = f^-1(f(x) + f(y)). Mais dans
ce cas les classes d'équivalence ne présentent plus beaucoup
d'intérêt puisque chaque entier forme une classe à lui tout
seul.
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-06-01 18:07:16 UTC
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Post by Zarake
Quelle condition doit satisfaire f
f(x) + f(y) = f(x+y) ?
Zarake
2017-06-02 07:34:03 UTC
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Le 01/06/2017 à 19:33, Zarake a écrit :

Merci à tout le monde. Je vois bien mon erreur maintenant

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