Discussion:
suite divergente
(trop ancien pour répondre)
Julien Arlandis
2017-06-01 20:28:08 UTC
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Considérons u_n une suite divergente, on définit v_n telle que
v_0 = 0
v_n = u_{n-1} pour n > 0.

Montrer que \Sigma_{n=0}^{\infty} (u_n - v_n) \ne 0

Quelqu'un saurait le démontrer ?
--
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Olivier Miakinen
2017-06-01 21:58:41 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
Considérons u_n une suite divergente, on définit v_n telle que
v_0 = 0
v_n = u_{n-1} pour n > 0.
Montrer que \Sigma_{n=0}^{\infty} (u_n - v_n) \ne 0
Quelqu'un saurait le démontrer ?
Voyons...

Soit S_n = \Sigma_{k=0}^{n} (u_k - v_k), tu voudrais montrer que S_n
ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini.

Pour n ≥ 1,
S_n = (u_0 - v_0) + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - v_k)
= u_0 + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - u_{k-1})
= u_n

Il me semble donc que c'est vrai : si la suite u_n diverge, elle
ne converge vers aucun nombre, en particulier elle ne converge pas
vers 0, du coup ta série ne converge pas vers 0.
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-06-02 08:33:29 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Considérons u_n une suite divergente, on définit v_n telle que
v_0 = 0
v_n = u_{n-1} pour n > 0.
Montrer que \Sigma_{n=0}^{\infty} (u_n - v_n) \ne 0
Quelqu'un saurait le démontrer ?
Voyons...
Soit S_n = \Sigma_{k=0}^{n} (u_k - v_k), tu voudrais montrer que S_n
ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini.
Pour n ≥ 1,
S_n = (u_0 - v_0) + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - v_k)
= u_0 + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - u_{k-1})
= u_n
Il me semble donc que c'est vrai : si la suite u_n diverge, elle
ne converge vers aucun nombre, en particulier elle ne converge pas
vers 0, du coup ta série ne converge pas vers 0.
Parfait, voilà un résultat parfaitement contre intuitif.
Si u_n ne converge pas vers 0, l'opérateur de sommation n'est plus
linéaire sur Z car
Σ(u_n + v_n) ≠ Σ(u_n) + Σ(v_n).
Cela induit qu'une méthode de sommation S ne peut pas être à la fois
stable, linéaire et convergente.
En effet, considérons que u_n converge vers une valeur limite a, a ≠ 0.

Par stabilité :
S(v_n) = 0 + S(u_n)

Par linéarité :
S(u_n) - S(v_n) = 0
d'où S(u_n - v_n) = 0

Par convergence :
mais S(u_n - v_n) = Σ(u_n + v_n) = a

Donc si S existe, alors 0 = a ≠ 0 !!!

Étonnant non?
Julien Arlandis
2017-06-02 08:36:31 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Considérons u_n une suite divergente, on définit v_n telle que
v_0 = 0
v_n = u_{n-1} pour n > 0.
Montrer que \Sigma_{n=0}^{\infty} (u_n - v_n) \ne 0
Quelqu'un saurait le démontrer ?
Voyons...
Soit S_n = \Sigma_{k=0}^{n} (u_k - v_k), tu voudrais montrer que S_n
ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini.
Pour n ≥ 1,
S_n = (u_0 - v_0) + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - v_k)
= u_0 + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - u_{k-1})
= u_n
Il me semble donc que c'est vrai : si la suite u_n diverge, elle
ne converge vers aucun nombre, en particulier elle ne converge pas
vers 0, du coup ta série ne converge pas vers 0.
Parfait, voilà un résultat parfaitement contre intuitif.
Si u_n ne converge pas vers 0, l'opérateur de sommation n'est plus
linéaire sur Z car
Σ(u_n + v_n) ≠ Σ(u_n) + Σ(v_n).
Cela induit qu'une méthode de sommation S ne peut pas être à la fois
stable, linéaire et convergente.
En effet, considérons que u_n converge vers une valeur limite a, a ≠ 0.

Par stabilité :
S(v_n) = 0 + S(u_n)

Par linéarité :
S(u_n) - S(v_n) = 0
d'où S(u_n - v_n) = 0

Par convergence :
S(u_n - v_n) = Σ(u_n + v_n) = a

Donc si S existe, alors 0 = a ≠ 0 !!!

Étonnant non?
Julien Arlandis
2017-06-02 08:38:14 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Considérons u_n une suite divergente, on définit v_n telle que
v_0 = 0
v_n = u_{n-1} pour n > 0.
Montrer que \Sigma_{n=0}^{\infty} (u_n - v_n) \ne 0
Quelqu'un saurait le démontrer ?
Voyons...
Soit S_n = \Sigma_{k=0}^{n} (u_k - v_k), tu voudrais montrer que S_n
ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini.
Pour n ≥ 1,
S_n = (u_0 - v_0) + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - v_k)
= u_0 + \Sigma_{k=1}^{n} (u_k - u_{k-1})
= u_n
Il me semble donc que c'est vrai : si la suite u_n diverge, elle
ne converge vers aucun nombre, en particulier elle ne converge pas
vers 0, du coup ta série ne converge pas vers 0.
Parfait, voilà un résultat parfaitement contre intuitif.
Si u_n ne converge pas vers 0, l'opérateur de sommation n'est plus
linéaire sur Z car
Σ(u_n + v_n) ≠ Σ(u_n) + Σ(v_n).
Cela induit qu'une méthode de sommation S ne peut pas être à la fois
stable, linéaire et convergente.
En effet, considérons que u_n converge vers une valeur limite a, a ≠ 0.

Par stabilité :
S(v_n) = 0 + S(u_n)

Par linéarité :
S(u_n) - S(v_n) = 0
d'où S(u_n - v_n) = 0

Par convergence :
S(u_n - v_n) = Σ(u_n - v_n) = a

Donc si S existe, alors 0 = a ≠ 0 !!!

Étonnant non?
Olivier Miakinen
2017-06-02 10:10:38 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
Parfait, voilà un résultat parfaitement contre intuitif.
Comme tout ce qui flirte avec l'infini, quand on ne fait pas gaffe.
Post by Julien Arlandis
Si u_n ne converge pas vers 0, l'opérateur de sommation n'est plus
linéaire sur Z car
Σ(u_n + v_n) ≠ Σ(u_n) + Σ(v_n).
... sauf si au moins deux des trois séries sont absolument convergentes,
auquel cas la troisième l'est aussi et on a forcément l'égalité. Bien
sûr on peut aussi avoir l'égalité si les séries ne sont pas absolument
convergentes, mais ce n'est pas garanti.
Post by Julien Arlandis
Cela induit qu'une méthode de sommation S ne peut pas être à la fois
stable, linéaire et convergente.
En effet, considérons que u_n converge vers une valeur limite a, a ≠ 0.
Dans ce cas, Σ(u_n) est équivalente à (n.a) qui tend vers +∞ ou -∞ selon
que a est positif ou négatif.
Post by Julien Arlandis
S(v_n) = 0 + S(u_n)
+∞ = 0 + +∞
Post by Julien Arlandis
S(u_n) - S(v_n) = 0
Non.
+∞ - +∞ est une forme indéterminée.
Post by Julien Arlandis
d'où S(u_n - v_n) = 0
Non.
S(u_n - v_n) peut valoir n'importe quoi.
Post by Julien Arlandis
S(u_n - v_n) = Σ(u_n - v_n) = a
Donc si S existe, alors 0 = a ≠ 0 !!!
Étonnant non?
Je ne trouve pas ça étonnant du tout.
Σ(u_n - v_n) = a
Σ(u_n) = +∞
Σ(v_n) = +∞
Σ(u_n) = Σ(u_n - v_n) + Σ(v_n)
Il n'y a aucune incohérence.
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-06-02 12:38:00 UTC
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Raw Message
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Parfait, voilà un résultat parfaitement contre intuitif.
Comme tout ce qui flirte avec l'infini, quand on ne fait pas gaffe.
Post by Julien Arlandis
Si u_n ne converge pas vers 0, l'opérateur de sommation n'est plus
linéaire sur Z car
Σ(u_n + v_n) ≠ Σ(u_n) + Σ(v_n).
... sauf si au moins deux des trois séries sont absolument convergentes,
auquel cas la troisième l'est aussi et on a forcément l'égalité. Bien
sûr on peut aussi avoir l'égalité si les séries ne sont pas absolument
convergentes, mais ce n'est pas garanti.
Oui.
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Cela induit qu'une méthode de sommation S ne peut pas être à la fois
stable, linéaire et convergente.
En effet, considérons que u_n converge vers une valeur limite a, a ≠ 0.
Dans ce cas, Σ(u_n) est équivalente à (n.a) qui tend vers +∞ ou -∞ selon
que a est positif ou négatif.
Ce serait le cas si u_n = a, la suite se contente de converger vers a ce
qui est différent.
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
S(v_n) = 0 + S(u_n)
+∞ = 0 + +∞
Par définition si S est une méthode de sommation des séries
divergentes, elle fournit un résultat réel. Le but de cette
démonstration c'est justement de vérifier si de telle méthodes de
sommation (on pourrait citer les méthodes de Cesaro, d'Abel, de
Ramanujan, ...) peuvent respecter simultanément les propriétés de
régularité, de linéarité et de stabilité.
Lire à ce sujet, l'article suivant :
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
S(u_n) - S(v_n) = 0
Non.
+∞ - +∞ est une forme indéterminée.
Par définition de S, S(u_n) - S(v_n) est déterminé.
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
d'où S(u_n - v_n) = 0
Non.
S(u_n - v_n) peut valoir n'importe quoi.
Olivier Miakinen
2017-06-02 16:46:53 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
[...]
Par définition si S est une méthode de sommation des séries
divergentes, elle fournit un résultat réel. Le but de cette
démonstration c'est justement de vérifier si de telle méthodes de
sommation (on pourrait citer les méthodes de Cesaro, d'Abel, de
Ramanujan, ...) peuvent respecter simultanément les propriétés de
régularité, de linéarité et de stabilité.
D'accord, je n'avais pas compris que tu étais toujours dans
ce genre de sommes. Du coup, ma réponse d'hier soir était à
côté de la plaque puisque je suis passé par les limites de
sommes partielles pour te répondre. Et par conséquent tu ne
dois pas tenir compte de la conclusion à laquelle j'étais
arrivé.
Post by Julien Arlandis
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
Tu y trouves la réponse à ta question dans « Quelques
questions ouvertes (pour moi) » :
<cit.>
[...] il ne peut pas exister de méthode régulière, stable et
linéaire qui soit définie pour 1+2+3+4+5+…
</cit.>
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-06-02 17:44:25 UTC
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Raw Message
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
[...]
Par définition si S est une méthode de sommation des séries
divergentes, elle fournit un résultat réel. Le but de cette
démonstration c'est justement de vérifier si de telle méthodes de
sommation (on pourrait citer les méthodes de Cesaro, d'Abel, de
Ramanujan, ...) peuvent respecter simultanément les propriétés de
régularité, de linéarité et de stabilité.
D'accord, je n'avais pas compris que tu étais toujours dans
ce genre de sommes. Du coup, ma réponse d'hier soir était à
côté de la plaque puisque je suis passé par les limites de
sommes partielles pour te répondre. Et par conséquent tu ne
dois pas tenir compte de la conclusion à laquelle j'étais
arrivé.
Ta réponse d'hier était correcte, puisqu'il y était question de
l'opérateur de sommation classique. Ta démonstration permet de faire le
lien par régularité entre la sommation classique Σ et la super
sommation S. Il suffit de relire ma démonstration dans sa totalité
complétée avec la tienne.
Le fait qu'un opérateur de super sommation ne puisse être défini de
façon consistante tout en étant régulier, stable et linéaire à la
fois est un résultat assez surprenant. Cela implique en particulier que
la fonction zeta régularisée ne peut pas être stable et régulière.
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
Tu y trouves la réponse à ta question dans « Quelques
<cit.>
[...] il ne peut pas exister de méthode régulière, stable et
linéaire qui soit définie pour 1+2+3+4+5+…
</cit.>
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