Discussion:
une autre formule
(trop ancien pour répondre)
Julien Arlandis
2017-05-26 09:43:19 UTC
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Qui parviendra à démontrer ceci ?

1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
--
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robby
2017-05-26 11:11:48 UTC
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Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
ben encore faudrait il avoir la règle d'induction pour les "..."
--
Fabrice
Julien Arlandis
2017-05-26 11:20:38 UTC
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Post by robby
Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
ben encore faudrait il avoir la règle d'induction pour les "..."
La règle c'est celle ci :
5, 10, 17, 26, 37, 50, 65
2²+1 3²+1 4²+1 5²+1 6²+1 7²+1 8²+1

Sinon une autre formule du même genre que je viens juste de trouver mais
un peu plus esthétique :

2 =
\sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6...}}}}}}
--
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Julien Arlandis
2017-05-26 11:23:09 UTC
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Post by robby
Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
ben encore faudrait il avoir la règle d'induction pour les "..."
La règle c'est celle ci :
5, 10, 17, 26, 37, 50, 65
2²+1 3²+1 4²+1 5²+1 6²+1 7²+1 8²+1

Sinon une autre formule du même genre que je viens juste de trouver mais
un peu plus esthétique :

2 =
\sqrt{1+1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6...}}}}}}
--
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Julien Arlandis
2017-05-26 11:51:32 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by robby
Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
ben encore faudrait il avoir la règle d'induction pour les "..."
5, 10, 17, 26, 37, 50, 65
2²+1 3²+1 4²+1 5²+1 6²+1 7²+1 8²+1
Sinon une autre formule du même genre que je viens juste de trouver mais un peu
2 = \sqrt{1+1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6...}}}}}}
Apparemment elle est connue :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e#Pi
robby
2017-05-27 10:33:00 UTC
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Post by Julien Arlandis
Sinon une autre formule du même genre que je viens juste de trouver mais
2 = \sqrt{1+1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6...}}}}}}
'tin j'ai meme pas d'idee de par quel bout prendre ce genre de
demonstration.
--
Fabrice
Julien Arlandis
2017-05-27 11:02:28 UTC
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Post by robby
Post by Julien Arlandis
Sinon une autre formule du même genre que je viens juste de trouver mais
2 = \sqrt{1+1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6...}}}}}}
'tin j'ai meme pas d'idee de par quel bout prendre ce genre de
demonstration.
Un indice :

1 = sqrt(1 + 0 * (2) )
2 = sqrt(1 + 1 * (3) )
..
n = sqrt(1 + (n-1) (n+1) )
Serganz
2017-05-26 11:28:47 UTC
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Post by robby
Post by Julien Arlandis
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
ben encore faudrait il avoir la règle d'induction pour les "..."
+5,+7,+9,+11,+13,... ?
Julien Arlandis
2017-05-26 17:58:44 UTC
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Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
La formule peut se généraliser ainsi :

0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n}...}}}}}}}


avec u(n)=n²+1
--
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Julien Arlandis
2017-05-26 17:59:27 UTC
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Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
La formule peut se généraliser ainsi :

0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}


avec u(n)=n²+1
Julien Arlandis
2017-05-27 08:37:51 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}
avec u(n)=n²+1
En généralisant encore la formule à tous les entiers naturels on tombe
sur une très jolie formule :

n =
\sqrt{u_n-2\sqrt{u_{n+1}-2\sqrt{u_{n+2}-2\sqrt{u_{n+3}-2\sqrt{...}}}}}


avec u_n = (n+1)² + 1

Du coup qui parviendra à la démontrer ?
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=***@jntp>
Julien Arlandis
2017-05-27 08:38:11 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Qui parviendra à démontrer ceci ?
1=\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2...}}}}}}
0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}
avec u(n)=n²+1
En généralisant à tous les entiers naturels on tombe sur une très
jolie formule :

n =
\sqrt{u_n-2\sqrt{u_{n+1}-2\sqrt{u_{n+2}-2\sqrt{u_{n+3}-2\sqrt{...}}}}}


avec u_n = (n+1)² + 1

Du coup qui parviendra à la démontrer ?
Olivier Miakinen
2017-05-27 10:31:42 UTC
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Post by Julien Arlandis
En généralisant à tous les entiers naturels on tombe sur une très
n =
\sqrt{u_n-2\sqrt{u_{n+1}-2\sqrt{u_{n+2}-2\sqrt{u_{n+3}-2\sqrt{...}}}}}
avec u_n = (n+1)² + 1
Du coup qui parviendra à la démontrer ?
On peut déjà montrer que la formule est « cohérente », dans le sens que
si elle est vraie pour un n+1 donné alors elle sera vraie aussi pour n,
du moins tant que tant que n ≥ 0.

En effet, on a :
sqrt(u_n - 2.sqrt(u_{n+1} - 2...))
= sqrt(u_n - 2(n+1))
= sqrt((n+1)² - 2(n+1) + 1)
= sqrt((n+1)(n-1) + 1)
= sqrt(n² - 1 + 1)
= sqrt(n²) = n

Bien entendu il reste à montrer que cette formule ne diverge pas, et
qu'elle ne peut jamais donner deux valeurs différentes.
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-05-27 10:51:28 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
En généralisant à tous les entiers naturels on tombe sur une très
n =
\sqrt{u_n-2\sqrt{u_{n+1}-2\sqrt{u_{n+2}-2\sqrt{u_{n+3}-2\sqrt{...}}}}}
avec u_n = (n+1)² + 1
Du coup qui parviendra à la démontrer ?
On peut déjà montrer que la formule est « cohérente », dans le sens que
si elle est vraie pour un n+1 donné alors elle sera vraie aussi pour n,
du moins tant que tant que n ≥ 0.
sqrt(u_n - 2.sqrt(u_{n+1} - 2...))
= sqrt(u_n - 2(n+1))
= sqrt((n+1)² - 2(n+1) + 1)
= sqrt((n+1)(n-1) + 1)
= sqrt(n² - 1 + 1)
= sqrt(n²) = n
Bien entendu il reste à montrer que cette formule ne diverge pas, et
qu'elle ne peut jamais donner deux valeurs différentes.
Bien vu.

Pour la démonstration, je pense qu'on peut partir de l'égalité suivante
vraie pour tout entier naturel : n = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 (n+1))

On applique la formule au rang 0 :
0 = sqrt( (2) - 2 * (1) )
puis au rang 1 :
1 = sqrt( (5) - 2 * (2) )
puis on remplace (1) par 1 :
0 = sqrt( (2) - 2 * sqrt( (5) - 2 * (2) ) )
puis on remplace (2) par 3, (3) par 4 etc etc...
Olivier Miakinen
2017-05-27 12:32:19 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
n =
\sqrt{u_n-2\sqrt{u_{n+1}-2\sqrt{u_{n+2}-2\sqrt{u_{n+3}-2\sqrt{...}}}}}
[...]
Bien entendu il reste à montrer que cette formule ne diverge pas, et
qu'elle ne peut jamais donner deux valeurs différentes.
Bien vu.
Pour la démonstration, je pense qu'on peut partir de l'égalité suivante
vraie pour tout entier naturel : n = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 (n+1))
0 = sqrt( (2) - 2 * (1) )
1 = sqrt( (5) - 2 * (2) )
0 = sqrt( (2) - 2 * sqrt( (5) - 2 * (2) ) )
puis on remplace (2) par 3, (3) par 4 etc etc...
En faisant cela, tu montres bien qu'elle est valable au rang 0
si elle est valable au rang 1, qu'elle est valable au rang 1 si
elle l'est au rang 2, et ainsi de suite.

MAIS... tu ne montres pas qu'il ne peut exister une autre
suite de nombres { v_0, v_1, v_2, ... } différents de la
suite { 0, 1, 2, ... } et vérifiant la même relation de
récurrence, à savoir : v_n = sqrt((n+1)² + 1 - 2.v_{n+1})
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-05-27 15:48:40 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
n =
\sqrt{u_n-2\sqrt{u_{n+1}-2\sqrt{u_{n+2}-2\sqrt{u_{n+3}-2\sqrt{...}}}}}
[...]
Bien entendu il reste à montrer que cette formule ne diverge pas, et
qu'elle ne peut jamais donner deux valeurs différentes.
Bien vu.
Pour la démonstration, je pense qu'on peut partir de l'égalité suivante
vraie pour tout entier naturel : n = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 (n+1))
0 = sqrt( (2) - 2 * (1) )
1 = sqrt( (5) - 2 * (2) )
0 = sqrt( (2) - 2 * sqrt( (5) - 2 * (2) ) )
puis on remplace (2) par 3, (3) par 4 etc etc...
En faisant cela, tu montres bien qu'elle est valable au rang 0
si elle est valable au rang 1, qu'elle est valable au rang 1 si
elle l'est au rang 2, et ainsi de suite.
Je construis la formule au rang 0, je démontre ainsi la formule suivante
:
0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}


Ensuite il est facile de montrer comme tu l'as fait la relation de
récurrence à partir d'un rang quelconque, la formule étant vrai pour n
= 0, elle est donc vraie pour tout n.
Post by Olivier Miakinen
MAIS... tu ne montres pas qu'il ne peut exister une autre
suite de nombres { v_0, v_1, v_2, ... } différents de la
suite { 0, 1, 2, ... } et vérifiant la même relation de
récurrence, à savoir : v_n = sqrt((n+1)² + 1 - 2.v_{n+1})
Je ne comprends en quoi le fait qu'il existerait une autre relation de
récurrence invaliderait la démonstration?
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=***@jntp>
Olivier Miakinen
2017-05-27 20:14:21 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Pour la démonstration, je pense qu'on peut partir de l'égalité suivante
vraie pour tout entier naturel : n = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 (n+1))
0 = sqrt( (2) - 2 * (1) )
1 = sqrt( (5) - 2 * (2) )
0 = sqrt( (2) - 2 * sqrt( (5) - 2 * (2) ) )
puis on remplace (2) par 3, (3) par 4 etc etc...
En faisant cela, tu montres bien qu'elle est valable au rang 0
si elle est valable au rang 1, qu'elle est valable au rang 1 si
elle l'est au rang 2, et ainsi de suite.
Je construis la formule au rang 0,
La formule au rang 0, c'est « 0 = sqrt( (2) - 2 * (1) ) »
Post by Julien Arlandis
je démontre ainsi la formule suivante
0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}
Tu ne trouves pas que tu sautes un peu vite à la conclusion ?
Post by Julien Arlandis
Ensuite il est facile de montrer comme tu l'as fait la relation de
récurrence à partir d'un rang quelconque, la formule étant vrai pour n
= 0, elle est donc vraie pour tout n.
C'est le contraire : la formule avec une infinité de termes, tu as
d'abord besoin qu'elle soit vraie pour tout n supérieur à 0 avant
de pouvoir dire qu'elle est vraie aussi en 0.
Post by Julien Arlandis
Post by Olivier Miakinen
MAIS... tu ne montres pas qu'il ne peut exister une autre
suite de nombres { v_0, v_1, v_2, ... } différents de la
suite { 0, 1, 2, ... } et vérifiant la même relation de
récurrence, à savoir : v_n = sqrt((n+1)² + 1 - 2.v_{n+1})
Je ne comprends en quoi le fait qu'il existerait une autre relation de
récurrence invaliderait la démonstration?
Ce que je dis, c'est qu'en partant d'un v_0 différent de 0 on peut
généralement trouver un v_1, puis un v_2, etc., et que, à moins de
montrer que la suite (v_n) n'est infinie que si v_0 = 0, ton signe
« = » n'est qu'un abus de notation.
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2017-05-27 20:44:37 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Post by Olivier Miakinen
Post by Julien Arlandis
Pour la démonstration, je pense qu'on peut partir de l'égalité suivante
vraie pour tout entier naturel : n = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 (n+1))
0 = sqrt( (2) - 2 * (1) )
1 = sqrt( (5) - 2 * (2) )
0 = sqrt( (2) - 2 * sqrt( (5) - 2 * (2) ) )
puis on remplace (2) par 3, (3) par 4 etc etc...
En faisant cela, tu montres bien qu'elle est valable au rang 0
si elle est valable au rang 1, qu'elle est valable au rang 1 si
elle l'est au rang 2, et ainsi de suite.
Je construis la formule au rang 0,
La formule au rang 0, c'est « 0 = sqrt( (2) - 2 * (1) ) »
Post by Julien Arlandis
je démontre ainsi la formule suivante
0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}
Tu ne trouves pas que tu sautes un peu vite à la conclusion ?
La formule est construite à partir de :
0 = sqrt( 2 - 2 * f(1) )
et de la relation suivante vraie pour tout n :
f(n) = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 * f(n+1) ) = n

Du fait de la récursivité de f, f(1) est une expression infinie en
nombre de terme.
On aurait même pu partir directement de
0 = f(0)
0 = sqrt(2 - 2*f(1))
0 = sqrt(2 - 2*sqrt(5 - 2*f(2)))
0 = sqrt(2 - 2*sqrt(5 - 2*sqrt(10 - 2*f(3))))
..
0 =
sqrt(2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}
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