Discussion:
Pente d'une bissectrice
(trop ancien pour répondre)
François Guillet
2017-05-18 09:36:53 UTC
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J'ai deux droites, l'une de pente p, l'autre de pente q.
Quelle est la pente de la bissectrice en fonction de p et q ?

Je trouve 1/2 * (p+q)/(1 + p*q) mais j'ai des doutes...
Samuel DEVULDER
2017-05-18 09:42:49 UTC
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On Thu, 18 May 2017 11:36:53 +0200, François
Post by François Guillet
Je trouve 1/2 * (p+q)/(1 + p*q) mais j'ai des doutes...
Si une des droite est à la verticale. Disons p=oo la pente avec q
vaudrait avec la formule 1/(2q) que je trouve suspect aussi (prendre
q=0 pour s'en convaincre).
François Guillet
2017-05-18 11:41:49 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
On Thu, 18 May 2017 11:36:53 +0200, François
Post by François Guillet
Je trouve 1/2 * (p+q)/(1 + p*q) mais j'ai des doutes...
Si une des droite est à la verticale. Disons p=oo la pente avec q vaudrait
avec la formule 1/(2q) que je trouve suspect aussi (prendre q=0 pour s'en
convaincre).
C'est aussi aux limites que je me suis posé des questions
Serganz
2017-05-18 11:20:24 UTC
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Je trouve quelque chose de compliqué, qui n'est pas forcément juste :

(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))

Serganz.
François Guillet
2017-05-18 13:17:56 UTC
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Post by Serganz
(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))
Serganz.
Cette formule me semble correcte.

Pour p=q, ça marche
Pour q=0, p=1, on trouve 1/(1+sqrt(2)) = 0,41 l'ordre de grandeur est
ok, on doit avoir moins que 0,5 (ma formule donne 0,5 et je viens de
voir que c'est manifestement faux).
J'ai essayé p=2, q=0.5, ce qui donne 1, ok.

Je suis surpris de ne pas avoir trouvé la solution prête à l'emploi sur
le web, la question me semblant simple. Mais sur le web on trouve plus
les réponses simples aux questions compliquées, que le contraire ! :-)
François Guillet
2017-05-18 13:19:22 UTC
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Post by Serganz
(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))
Serganz.
Cette formule me semble correcte, merci.

Pour p=q, ça marche
Pour q=0, p=1, on trouve 1/(1+sqrt(2)) = 0,41 l'ordre de grandeur est
ok, on doit avoir moins que 0,5 (ma formule donne 0,5 et je viens de
voir que c'est manifestement faux).
J'ai essayé p=2, q=0.5, ce qui donne 1, ok.

Je suis surpris de ne pas avoir trouvé la solution prête à l'emploi sur
le web, la question me semblant simple. Mais sur le web on trouve plus
les réponses simples aux questions compliquées, que le contraire ! :-)
Serganz
2017-05-18 13:34:18 UTC
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Pour information, pour trouver ça, j'ai posé :
tan a=q
tan b=p
Et le nombre que l'on cherche est tan ((a+b)/2)
Je l'ai exprimé en fonction de tan a, tan b et les cosinus et sinus
sachant que cos a =1/sqrt(q^2+1) et sin a =q/sqrt(q^2+1).

Il y a peut-être mieux comme méthode.

Serganz.
François Guillet
2017-05-18 14:02:20 UTC
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Post by Serganz
tan a=q
tan b=p
Et le nombre que l'on cherche est tan ((a+b)/2)
Je l'ai exprimé en fonction de tan a, tan b et les cosinus et sinus
sachant que cos a =1/sqrt(q^2+1) et sin a =q/sqrt(q^2+1).
Il y a peut-être mieux comme méthode.
Serganz.
J'ai voulu faire la même chose en utilisant

tan((α + β)/2) = (tan(α/2) + tan(β/2)) / (1 - tan(α/2)*tan(β/2))
et
p = tan(α) = 2*tan(α/2)/(1-tan²(α/2)) (idem pour q et β)

mais sans arriver au bout ni retrouver ta formule ! :-(

Il y a plus simple mais passer par les fonctions trigo ne me plait pas
:
tan((α + β)/2) = tan (arctan(p)/2 + arctan(q)/2)
MAIxxx
2017-05-18 14:54:00 UTC
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Post by François Guillet
Post by Serganz
(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))
Serganz.
Cette formule me semble correcte, merci.
Pour p=q, ça marche
Pour q=0, p=1, on trouve 1/(1+sqrt(2)) = 0,41 l'ordre de grandeur est
ok, on doit avoir moins que 0,5 (ma formule donne 0,5 et je viens de
voir que c'est manifestement faux).
J'ai essayé p=2, q=0.5, ce qui donne 1, ok.
Je suis surpris de ne pas avoir trouvé la solution prête à l'emploi sur
le web, la question me semblant simple. Mais sur le web on trouve plus
les réponses simples aux questions compliquées, que le contraire ! :-)
Avec un peu de trigo :
On peut aussi écrire :
tg [ (Arctg(p) + Arctg(q))/2 ] = tg [ 1/2. Atg( ( p+q)/(1-pq) )]
Post by François Guillet
http://www.lpma-paris.fr/pageperso/roux/enseignements/1112/capes/formulaire_trigo.pdf
comme tg(x) = 2.tg(x/2)/(1-tg²(X/2))
ou [1-tg²(x/2)].tg(x) -2.tg(x/2) =0
tg(x/2) = [-1 +/- sqrt( 1 + tg²(x) )] /tg(x)

la pente est donc
*{-1 +/-sqrt( 1+ [(p+q)/(1-pq)]² )} / [(p+q)/(1-pq)]*
ou
[pq-1 +/- sqrt( (pq-1)²+(p+q)² ) ]/(p+q)



Il y a bien deux valeurs correspondant aux deux bissectrices

Si on pose (p+q)/(1-pq) =t
(noter que t est la pente de la droite somme des angles )


[-1 + sqrt(1+t²)] /t * [-1 - sqrt(1+t²)]/ le produit des deux pentes est
bien [(-1)² - (1+t²)] /t² = -1
les deux valeurs correspondent à des droites perpendiculaires.

Tout cela aux erreurs éventuelles de calcul près.
--
Si vous mettez deux Français ensemble, et s'ils sont d'accord sur tout,
c'est qu'un des deux est un étranger.
Samuel DEVULDER
2017-05-18 17:06:06 UTC
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Post by Serganz
(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))
(... Utilisation de la trigo avec tg ....)

Je me demande si ça marche bien avec les pentes signée ou des angles
plus grands que pi/2. Les tangentes peuvent poser soucis dans ces
conditions. Mais peut être qu ' on considere qu'un angle de 3pi/4
correspond à une pente de -1 et là ça colle je crois.
MAIxxx
2017-05-18 17:37:52 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Post by Serganz
(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))
(... Utilisation de la trigo avec tg ....)
Je me demande si ça marche bien avec les pentes signée ou des angles
plus grands que pi/2. Les tangentes peuvent poser soucis dans ces
conditions. Mais peut être qu ' on considère qu'un angle de 3pi/4
correspond à une pente de -1 et là ça colle je crois.
Dans la mesure où on tient compte du fait que la pente de "la"
bissectrice est la solution d'une équation du second degré qui a deux
racines réelles de signe opposé dont le produit est -1, si les deux
pentes p et q sont positives on peut vouloir la seule solution positive
pour rester dans le premier quadrant, mais en toute généralité les deux
solutions sont acceptables dans le repère cartésien.

Si on veut se restreindre à des demi-droites une seule solution sera
retenue.
--
Si vous mettez deux Français ensemble, et s'ils sont d'accord sur tout,
c'est qu'un des deux est un étranger.
François Guillet
2017-05-18 19:00:41 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Post by Serganz
(p+q)/(1-pq+sqrt((p^2+1)(q^2+1)))
(... Utilisation de la trigo avec tg ....)
Je me demande si ça marche bien avec les pentes signée ou des angles plus
grands que pi/2. Les tangentes peuvent poser soucis dans ces conditions.
Mais peut être qu ' on considère qu'un angle de 3pi/4 correspond à une
pente de -1 et là ça colle je crois.
Dans la mesure où on tient compte du fait que la pente de "la" bissectrice
est la solution d'une équation du second degré qui a deux racines réelles de
signe opposé dont le produit est -1, si les deux pentes p et q sont positives
on peut vouloir la seule solution positive pour rester dans le premier
quadrant, mais en toute généralité les deux solutions sont acceptables dans
le repère cartésien.
Si on veut se restreindre à des demi-droites une seule solution sera retenue.
Oui, c'est bien ça. p et q sont positives, et même p>=1 et q=<p.
C'était pour calculer l'arc de cercle entre x3 et x1 qu'on voit là :
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