Topologie (histoire des maths)

[Bruno]

Bonjour,

J'aimerais comprendre le développement des concepts utilisés en topologie.

Après avoir effectué quelques recherches sur internet, j'ai rassemblé les
deux informations suivantes :

1- On fait remonter l'histoire de la topologie au 18ème siècle avec des
problèmes du type des "sept ponts de königsberg" : la topologie semble ainsi
se séparer de la géométrie en étudiant les propriétés de l'espace sans se
soucier des notions de "grandeurs", distances entre les points, etc.

2- Au début du 20ème siècle Hausdorff introduit la notion d'espace
topologique (avec les notions d'ouverts, fermé, etc.)

Ce que je ne comprends pas c'est l'évolution qui s'est produite entre les
points 1 et 2 ci-dessus, notamment la réintroduction de la notion de
distance (pour définir les espaces métriques par exemple) :

a) Par exemple, qu'y a-t-il de commun entre le problème des "sept ponts" et
la notion d'ouvert ?

b) Je comprends bien en quoi le problème des sept ponts ou celui des quatre
couleurs est "topologique". Mais qu'y a-t-il de "topologique" dans un espace
métrique ? Je ne vois pas.

Merci d'avance pour vos réponses.

Bruno.

[Michel Talon]

Ce que je ne comprends pas c'est l'?volution qui s'est produite entre les
points 1 et 2 ci-dessus, notamment la r?introduction de la notion de
a) Par exemple, qu'y a-t-il de commun entre le probl?me des "sept ponts" et
la notion d'ouvert ?
b) Je comprends bien en quoi le probl?me des sept ponts ou celui des quatre
couleurs est "topologique". Mais qu'y a-t-il de "topologique" dans un espace
m?trique ? Je ne vois pas.

Pas grand chose en fait.Il y a une partie de la topologie qui s'appelle
topologie générale et parle des notions d'ouvert de fermés et tout le toutim,
et une partie qui s'occupe des problèmes comme les "sept ponts" et autres
problèmes "combinatoires" et s'appelle topologie algébrique. Celle ci utilise
un strict minimum de topologie générale et un grand maximum d'algèbre.
Historiquement on dit que c'est Poincaré qui a plus ou moins créé la topologie
algébrique, en étudiant la notion d'homotopie, c'est à dire de déformation
continue des dessins, et d'homologie, qui est plus directement algébrique.
Initialement l'homologie c'était étudier des "surfaces triangulées" et voir
directement par de l'algèbre définie sur les triangulations comment la surface
était faite, combien elle avait de trous, etc.

[Bruno]

Post by Michel Talon

Ce que je ne comprends pas c'est l'?volution qui s'est produite entre les
points 1 et 2 ci-dessus, notamment la r?introduction de la notion de
a) Par exemple, qu'y a-t-il de commun entre le probl?me des "sept ponts" et
la notion d'ouvert ?
b) Je comprends bien en quoi le probl?me des sept ponts ou celui des quatre
couleurs est "topologique". Mais qu'y a-t-il de "topologique" dans un espace
m?trique ? Je ne vois pas.

Pas grand chose en fait.Il y a une partie de la topologie qui s'appelle
topologie générale et parle des notions d'ouvert de fermés et tout le toutim,
et une partie qui s'occupe des problèmes comme les "sept ponts" et autres
problèmes "combinatoires" et s'appelle topologie algébrique. Celle ci utilise
un strict minimum de topologie générale et un grand maximum d'algèbre.
Historiquement on dit que c'est Poincaré qui a plus ou moins créé la topologie
algébrique, en étudiant la notion d'homotopie, c'est à dire de déformation
continue des dessins, et d'homologie, qui est plus directement algébrique.
Initialement l'homologie c'était étudier des "surfaces triangulées" et voir
directement par de l'algèbre définie sur les triangulations comment la surface
était faite, combien elle avait de trous, etc.
--
Michel TALON

Merci pour votre réponse.

Je vois qu'en fait la "topologie" dont je saisis intuitivement à peu près
les enjeux correspond à ce que vous nommez la topologie algébrique (étude de
certaines propriétés de l'espace : déformations continues, trous, etc.).

"D'où vient" alors la "topologie générale" ? De quels questionnements sont
nées les notions d'ouverts, fermés, etc. ? Est-ce que tout cela est né des
développements de l'analyse : les progrès du calcul infinitésimal ont amené
à définir les notions de limite et continuité : pour formaliser ces notions,
je suppose qu'il a fallu introduire la notion de distance qui, elle permet
ensuite de parler d'espace métrique, etc. Bref :
a) Est-ce que la topologie générale est née des progrès de l'analyse ?
b) Si oui, en quoi se distingue-t-elle de l'analyse : quelles sont les
questions mathématiques qui la fondent en tant que discipline autonome ?

Merci.

Bruno.

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Bruno

Post by Michel Talon

Ce que je ne comprends pas c'est l'?volution qui s'est produite entre les
points 1 et 2 ci-dessus, notamment la r?introduction de la notion de
a) Par exemple, qu'y a-t-il de commun entre le probl?me des "sept ponts" et
la notion d'ouvert ?
b) Je comprends bien en quoi le probl?me des sept ponts ou celui des quatre
couleurs est "topologique". Mais qu'y a-t-il de "topologique" dans un espace
m?trique ? Je ne vois pas.

Pas grand chose en fait.Il y a une partie de la topologie qui s'appelle
topologie générale et parle des notions d'ouvert de fermés et tout le toutim,
et une partie qui s'occupe des problèmes comme les "sept ponts" et autres
problèmes "combinatoires" et s'appelle topologie algébrique. Celle ci utilise
un strict minimum de topologie générale et un grand maximum d'algèbre.
Historiquement on dit que c'est Poincaré qui a plus ou moins créé la topologie
algébrique, en étudiant la notion d'homotopie, c'est à dire de déformation
continue des dessins, et d'homologie, qui est plus directement algébrique.
Initialement l'homologie c'était étudier des "surfaces triangulées" et voir
directement par de l'algèbre définie sur les triangulations comment la surface
était faite, combien elle avait de trous, etc.
--
Michel TALON

Merci pour votre réponse.
Je vois qu'en fait la "topologie" dont je saisis intuitivement à peu près
les enjeux correspond à ce que vous nommez la topologie algébrique (étude de
certaines propriétés de l'espace : déformations continues, trous, etc.).
"D'où vient" alors la "topologie générale" ? De quels questionnements sont
nées les notions d'ouverts, fermés, etc. ? Est-ce que tout cela est né des
développements de l'analyse : les progrès du calcul infinitésimal ont amené
à définir les notions de limite et continuité : pour formaliser ces notions,
je suppose qu'il a fallu introduire la notion de distance qui, elle permet
a) Est-ce que la topologie générale est née des progrès de l'analyse ?
b) Si oui, en quoi se distingue-t-elle de l'analyse : quelles sont les
questions mathématiques qui la fondent en tant que discipline autonome ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie

Pour les biographies, rien ne vaut l'Université de St Andrews.
Quelques noms importants en topologie générale:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Kuratowski.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Banach.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Hausdorff.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Frechet.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Riesz.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Steinhaus.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Borel.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Cantor.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Baire.html

D'après ce que j'en sais, il y a eu un fort développement entre
la fin du 19è et les années 30, sans doute grâce à la théorie
des ensembles de Cantor, qui a permis de fournir une base solide
aux nombres réels et à l'analyse. D'autre part, la topologie
(générale) a des applications en théorie de la mesure (donc
en probabilités), en analyse fonctionnelle, et aussi en analyse
complexe.

Si tu as une bibliothèque universitaire pas trop loin, essaie
de trouver le cours de topologie de Kuratowki, c'est un petit
trésor :-) Mais il ne parle quasiment que de topologie générale.
[pas beaucoup d'informations historiques, mais on y découvre
beaucoup de choses qui ne sont pas dans les cours universitaires,
donc pas dans les livres pour étudiants - et de toute façon il
est bon de découvrir l'histoire en même temps que la théorie,
l'une aidant à la compréhension de l'autre]

Sur Amazon, il y a aussi ça:
http://www.amazon.com/gp/product/0444823751/
Mais je ne le connais malheureusement pas, et il coûte bonbon...

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Jean-Claude Arbaut
http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie
[...]

Pardon d'avance à Olivier Miakinen :-) (au sujet des citations
inutiles)

[Bruno]

Post by Jean-Claude Arbaut
D'après ce que j'en sais, il y a eu un fort développement entre
la fin du 19è et les années 30, sans doute grâce à la théorie
des ensembles de Cantor, qui a permis de fournir une base solide
aux nombres réels et à l'analyse. D'autre part, la topologie
(générale) a des applications en théorie de la mesure (donc
en probabilités), en analyse fonctionnelle, et aussi en analyse
complexe.
Si tu as une bibliothèque universitaire pas trop loin, essaie
de trouver le cours de topologie de Kuratowki, c'est un petit
trésor :-) Mais il ne parle quasiment que de topologie générale.
[pas beaucoup d'informations historiques, mais on y découvre
beaucoup de choses qui ne sont pas dans les cours universitaires,
donc pas dans les livres pour étudiants - et de toute façon il
est bon de découvrir l'histoire en même temps que la théorie,
l'une aidant à la compréhension de l'autre]
http://www.amazon.com/gp/product/0444823751/
Mais je ne le connais malheureusement pas, et il coûte bonbon...

Merci pour ta réponse et les indications bibliographiques. (merci aussi à p.
gaucher pour sa réponse)

En "très gros" :

- l'alagèbre générale s'occupe des structures mathématiques ;
- l'analyse s'occupe du calcul portant sur des quantités infiniment petites
- la géométrie étudie les propriétés des figures dans un espace donné,
etc.

De la même manière, pourrait-on dire, que le concept central dont s'occupe
la topologie générale serait la "position" de points (d'éléments) par
rapport à un ensemble ?

Seriez-vous d'accord avec cette vision des choses ?

Merci.

Bruno.

[Denis Feldmann]

Post by Bruno

Post by Jean-Claude Arbaut
D'après ce que j'en sais, il y a eu un fort développement entre
la fin du 19è et les années 30, sans doute grâce à la théorie
des ensembles de Cantor, qui a permis de fournir une base solide
aux nombres réels et à l'analyse. D'autre part, la topologie
(générale) a des applications en théorie de la mesure (donc
en probabilités), en analyse fonctionnelle, et aussi en analyse
complexe.
Si tu as une bibliothèque universitaire pas trop loin, essaie
de trouver le cours de topologie de Kuratowki, c'est un petit
trésor :-) Mais il ne parle quasiment que de topologie générale.
[pas beaucoup d'informations historiques, mais on y découvre
beaucoup de choses qui ne sont pas dans les cours universitaires,
donc pas dans les livres pour étudiants - et de toute façon il
est bon de découvrir l'histoire en même temps que la théorie,
l'une aidant à la compréhension de l'autre]
http://www.amazon.com/gp/product/0444823751/
Mais je ne le connais malheureusement pas, et il coûte bonbon...

Merci pour ta réponse et les indications bibliographiques. (merci aussi à p.
gaucher pour sa réponse)
- l'alagèbre générale s'occupe des structures mathématiques ;
- l'analyse s'occupe du calcul portant sur des quantités infiniment petites
- la géométrie étudie les propriétés des figures dans un espace donné,
etc.
De la même manière, pourrait-on dire, que le concept central dont s'occupe
la topologie générale serait la "position" de points (d'éléments) par
rapport à un ensemble ?
Seriez-vous d'accord avec cette vision des choses ?

Non, vraiment pas. La topologie (générale) donne plutôt du contenu aux
notions de continuité et de limite dans des cas extrêmement généraux
(par exemple pouvoir dire rigoureusement que l'intégrale est la limite
des sommes de Riemann quand les partitions deviennent aussi fines que l'
on veut), et à la description de la "géométrie" d'un espace permettant
de dire au moins qu'une suite de points s'accumule (ou non) vers un
ensemble, que l'espace est "d'un seul tenant" ou non, etc.

Post by Bruno
Merci.
Bruno.

[Philippe Gaucher]

Post by Bruno
De la même manière, pourrait-on dire, que le concept central dont
s'occupe la topologie générale serait la "position" de points
(d'éléments) par rapport à un ensemble ?

La topologie générale, c'est l'étude des espaces topologiques. Un des
grands problèmes qui a secoué la topologie générale à ses débuts est
le problème de métrisabilité : trouver une CNS pour qu'un espace
topologique soit la topologie induite par une distance.

pg.

[Julien Santini]

Salut,

Post by Bruno
De la même manière, pourrait-on dire, que le concept central dont
s'occupe la topologie générale serait la "position" de points
(d'éléments) par rapport à un ensemble ?

Non. Personnellement, je rejoins tout a fait la reponse de M. Fedmann.
Procure-toi Topology (Hocking & Young) et lis l'introduction ...

[Michel Talon]

Post by Julien Santini
Salut,

Post by Bruno
De la même manière, pourrait-on dire, que le concept central dont
s'occupe la topologie générale serait la "position" de points
(d'éléments) par rapport à un ensemble ?

Non. Personnellement, je rejoins tout a fait la reponse de M. Fedmann.
Procure-toi Topology (Hocking & Young) et lis l'introduction ...

Tiens d'ailleurs puisqu'on en est à citer des introductions remarquables,
procures toi donc le livre de Springer (dans une bibliothèque) Introduction to
Riemann Surfaces, et lis l'introduction (donc l'introduction à
l'introduction...). Tu as une grande chance d'y découvrir ce que c'est que la
topologie et à quoi ça sert. Même que si tu avances dans le bouquin tu peux
apprendre le b-a-ba de la topologie générale, de la topologie algébrique,
et même de la théorie des opérateurs elliptiques, sans parler des surfaces de
Riemann. Tout ça enveloppé dans un joli paquet cadeau de 300 pages seulement,
avec de jolis dessins. L'introduction est trés directement inspirée d'un texte
de F. Klein sur les surfaces de Riemann.

[Philippe Gaucher]

Post by Michel Talon
Tiens d'ailleurs puisqu'on en est à citer des introductions remarquables,
procures toi donc le livre de Springer (dans une bibliothèque) Introduction to
Riemann Surfaces, et lis l'introduction (donc l'introduction à
l'introduction...). Tu as une grande chance d'y découvrir ce que c'est que la

Puisqu'on donne des références, voici la mienne sur la topologie générale :

http://www.amazon.fr/gp/product/0070379882/403-4866659-8880403?v=glance&n=52042011&s=gateway&v=glance

Topologie: Cours et problèmes (Broché)
de Seymour Lipschutz
Serie Schaum

On apprend la topologie générale par l'exercice et par le concret. La
série Schaum est d'ailleurs excellente pour son côté pragmatique.

pg.



PS : la couverture a changé. Le mien est bleu foncé. J'espère que le
contenu est toujours aussi bon.

[Philippe Gaucher]

Post by Bruno
Je vois qu'en fait la "topologie" dont je saisis intuitivement à peu près
les enjeux correspond à ce que vous nommez la topologie algébrique (étude de
certaines propriétés de l'espace : déformations continues, trous, etc.).
"D'où vient" alors la "topologie générale" ? De quels questionnements sont
nées les notions d'ouverts, fermés, etc. ? Est-ce que tout cela est né des
développements de l'analyse : les progrès du calcul infinitésimal ont amené
à définir les notions de limite et continuité : pour formaliser ces notions,
je suppose qu'il a fallu introduire la notion de distance qui, elle permet
a) Est-ce que la topologie générale est née des progrès de l'analyse ?

J'ignore l'histoire de la topologie générale. Je *suppose* que cela
vient d'une volonté d'unification, de la formalisation de l'analyse,
de l'apparition de la théorie des ensembles.

Post by Bruno
b) Si oui, en quoi se distingue-t-elle de l'analyse : quelles sont les
questions mathématiques qui la fondent en tant que discipline autonome ?

Euh... Au jour d'aujourd'hui, le langage de la topologie générale se
retrouve un peu partout (analyse, algèbre, géométrie, logique,
informatique théorique). Dans l'étude des systèmes dynamiques, des
ensembles du genre celui de Cantor apparaissent même. C'est difficile
d'en faire le tour.

pg.

[Lavau Gérard]

Post by Philippe Gaucher
J'ignore l'histoire de la topologie générale. Je *suppose* que cela
vient d'une volonté d'unification, de la formalisation de l'analyse,
de l'apparition de la théorie des ensembles.

Il est difficile de dater précisément l'origine de la topologie. Mais
la topologie générale est plus proche de ce que faisait Riemann (qui
parlait d'Analysis situs) que des sept ponts de Koenigsberg.

Le développement des géométries non-euclidiennes amène à se poser la
question "qu'est-ce qu'une droite ?".
Ou bien on ne définit pas une droite, mais on choisit tel ou tel
axiome qui orientera la géométrie vers la géométrie euclidienne ou
non.
Ou bien on cherche à définir une droite, par exemple par le chemin le
plus court reliant deux points (les géodésiques), mais alors, il faut
avoir au préalable défini une notion de distance. Mais alors, si un
espace est muni d'une certaine distance et si un autre ensemble est en
bijection avec le premier, on peut parfaitement définir une distance
sur le second de sorte que les deux espaces soient indiscernables
(homéomorphes, dirait-on aujourd'hui). On voit que la représentation
géométrique de l'espace initial étudié, qui existe encore au milieu du
XIXème, tend alors à disparaître pour s'attacher aux propriétés
purement métriques. On se rend compte alors que, sans le réaliser, la
topologie est née.


Lavau Gérard