Discussion:
Résoudre une équation polynomiale par radicaux
(trop ancien pour répondre)
Tintin
2017-06-17 21:15:28 UTC
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Bonsoir,

Considérons une équation polynomiale P(x)=0 dont on est sûr qu'elle est
résoluble par radicaux (par la théorie de Galois par exemple).

Question : existe-t-il une méthode qui permet à coup sûr d'exprimer ses
solutions à l'aide de radicaux.


Merci
Emphyrio
2017-06-18 04:03:30 UTC
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Post by Tintin
Bonsoir,
Considérons une équation polynomiale P(x)=0 dont on est sûr qu'elle est
résoluble par radicaux (par la théorie de Galois par exemple).
Question : existe-t-il une méthode qui permet à coup sûr d'exprimer ses
solutions à l'aide de radicaux.
Merci
Sauf cas particuliers, seuls les polynômes de degré inférieur ou égale à
4 sont solubles avec l'aide de radicaux et les formules de résolution
sont générales et parfaitement établies.


Pour info :
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ca/node22.html



M.A
Emphyrio
2017-06-18 04:06:54 UTC
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Post by Emphyrio
Post by Tintin
Bonsoir,
Considérons une équation polynomiale P(x)=0 dont on est sûr qu'elle est
résoluble par radicaux (par la théorie de Galois par exemple).
Question : existe-t-il une méthode qui permet à coup sûr d'exprimer ses
solutions à l'aide de radicaux.
Merci
Sauf cas particuliers, seuls les polynômes de degré inférieur ou égale à
4 sont solubles avec l'aide de radicaux et les formules de résolution
sont générales et parfaitement établies.
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ca/node22.html
M.A
Ps : Cela dit, j'ai peut-être mal compris la question...
Tintin
2017-06-18 08:45:46 UTC
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Raw Message
Post by Emphyrio
Post by Emphyrio
Post by Tintin
Bonsoir,
Considérons une équation polynomiale P(x)=0 dont on est sûr qu'elle est
résoluble par radicaux (par la théorie de Galois par exemple).
Question : existe-t-il une méthode qui permet à coup sûr d'exprimer ses
solutions à l'aide de radicaux.
Merci
Sauf cas particuliers, seuls les polynômes de degré inférieur ou égale à
4 sont solubles avec l'aide de radicaux et les formules de résolution
sont générales et parfaitement établies.
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ca/node22.html
M.A
Ps : Cela dit, j'ai peut-être mal compris la question...
Pour les degrés 3 et 4 pas de problème, nous sommes d'accord.

A partir du degré 5, on sait qu'une équation polynomiale n'est pas
nécessairement résoluble par radicaux. Cela étant, si l'on prend une
équation polynomiale dont on sait que les solutions peuvent s'écrire
avec des radicaux, existe-t-il une méthode qui permet de le faire
systématiquement ?
Michel Talon
2017-06-18 09:25:07 UTC
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Post by Tintin
A partir du degré 5, on sait qu'une équation polynomiale n'est pas
nécessairement résoluble par radicaux. Cela étant, si l'on prend une
équation polynomiale dont on sait que les solutions peuvent s'écrire
avec des radicaux, existe-t-il une méthode qui permet de le faire
systématiquement ?
La théorie de Galois te dit qu'une équation est résoluble par radicaux
s'il existe une tour de sous-groupes distingués l'un dans l'autre,
correspondant à des sous corps s'obtenant l'un par rapport à l'autre par
adjonction de radicaux. Donc implicitement ceci est le moyen d'exprimer
les racines par radicaux.
--
Michel Talon
Julien Arlandis
2017-06-18 10:08:42 UTC
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Raw Message
Post by Michel Talon
Post by Tintin
A partir du degré 5, on sait qu'une équation polynomiale n'est pas
nécessairement résoluble par radicaux. Cela étant, si l'on prend une
équation polynomiale dont on sait que les solutions peuvent s'écrire
avec des radicaux, existe-t-il une méthode qui permet de le faire
systématiquement ?
La théorie de Galois te dit qu'une équation est résoluble par radicaux
s'il existe une tour de sous-groupes distingués l'un dans l'autre,
correspondant à des sous corps s'obtenant l'un par rapport à l'autre par
adjonction de radicaux. Donc implicitement ceci est le moyen d'exprimer
les racines par radicaux.
On est d'accord que toute solution polynomiale de quelque degré que ce
soit peut toujours s'exprimer sous la forme de radicaux, et que c'est
juste la méthode de résolution qui ne peut plus être généralisée à
partir du degré 5 ?
Samuel DEVULDER
2017-06-18 10:23:55 UTC
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Raw Message
On Sun, 18 Jun 17 10:08:42 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
On est d'accord que toute solution polynomiale de quelque degré que ce
soit peut toujours s'exprimer sous la forme de radicaux
Non pas du tout. Il existe polynômes dont les racines ne peuvent pas
s'exprimer avec des racines, qui ne sont que les formes particulieres
de "primitives" RootOf() dans les logiciels de calculs formels.
Certaines RootOf() sont des expressions à base de radicaux
(RootOf(x^k - expression-simple) par exemple), d'autres aucunement.
Samuel DEVULDER
2017-06-18 10:30:14 UTC
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Raw Message
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Julien Arlandis
2017-06-18 11:07:08 UTC
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Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Tintin
2017-06-18 11:18:18 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Non bien sûr.
Julien Arlandis
2017-06-18 11:30:17 UTC
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Raw Message
Post by Tintin
Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Non bien sûr.
Un exemple ?
Tintin
2017-06-18 11:41:38 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
Post by Tintin
Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Non bien sûr.
Un exemple ?
Samuel DEVULDER a donné l'explication juste avant.

Un exemple : les racines de X^5 - 5X - 1 sont des nombres algébriques
mais ne peuvent être écrites avec des radicaux.
Samuel DEVULDER
2017-06-18 12:12:42 UTC
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Autre exemple x^5+x+2=0 est soluble par radical (utiliser
wolframalpha et lui demander la forme exacte des racines).

En fait ce rpolynôme est factorisable par x+1 ce qui le ramène au
degré 4 dont on sait exprimer les racines par radicaux ( à coucher
dehors cependant).

En revanche x^5-x+2=0 n'a pas de solution par radical. La différence
est pourtant faible: il n'y à que le signe de x^1 qui change, mais ça
change tout!
Emphyrio
2017-06-19 13:29:13 UTC
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Raw Message
Post by Tintin
Post by Julien Arlandis
Post by Tintin
Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Non bien sûr.
Un exemple ?
Samuel DEVULDER a donné l'explication juste avant.
Un exemple : les racines de X^5 - 5X - 1 sont des nombres algébriques
mais ne peuvent être écrites avec des radicaux.
Cela ne suffit-il pas de savoir que :

P(x)= X^5 - 5x - 1 = (x^2 + Ax^2 + Bx + C)(x^2 + Dx+ E)

Ainsi les coefficients du polynôme P(x) s'expriment par des relations
simples contenant des produits et/ou sommes contenant les coefficients
A, B, C, D, E.

Bien sûr, on ne peut pas déterminer par le calcul l'un de ces
coefficients puisque cela reviendrait à une résolution formelle d'un
polynôme de degré 5.

Il me semble que si les coeff du polynôme de départ P(x) sont
algébriques alors les coeff de cette décomposition polynomiale de P(x)
le sont aussi et donc les solutions peuvent s'écrire à l'aide de radicaux.


Si on admet que A, B, C, D, E, sont algébriques alors nécessairement les
coeff de polynômes de degré 5 le sont aussi et la réciproque doit être
vraie.


Si le raisonnement est valable que ce polynôme de degré 5 alors on peut
le généraliser aux polynômes de degré n > 4.


M.A
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:48:41 UTC
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Post by Emphyrio
P(x)= X^5 - 5x - 1 = (x^2 + Ax^2 + Bx + C)(x^2 + Dx+ E)
Ainsi les coefficients du polynôme P(x) s'expriment par des
relations
Post by Emphyrio
simples contenant des produits et/ou sommes contenant les
coefficients
Post by Emphyrio
A, B, C, D, E.
Et non hélas. C'est là qu'est l'os sur lequel beaucoup de nos anciens
se sont fourvoyés.

Les expressions de À B C D E sont tout sauf simple au final et sont
aussi complexe à résoudre que le polynôme de degré 5.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:50:36 UTC
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Raw Message
Post by Emphyrio
Si on admet que A, B, C, D, E, sont algébriques alors
nécessairement les
Post by Emphyrio
coeff de polynômes de degré 5 le sont aussi et la réciproque doit être
vraie.
La réciproque n'est pas vraie dans le cas général.
Tintin
2017-06-18 11:18:40 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
Je ne suis pas certain d'avoir été clair. Toutes les solutions
peuvent s'écrire avec des RootOf(polynome-plus-simple) et certains
RootOf() sont des radicaux mais pas tous.
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Non bien sûr.
Samuel DEVULDER
2017-06-18 11:20:46 UTC
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Raw Message
On Sun, 18 Jun 17 11:07:08 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Je reformule ma question, un nombre algébrique peut il toujours
s'exprimer par radicaux?
Prends un polynôme de degré 5 non soluble par radicaux. Les 5 racines
sont des nombres algébriques qu'on ne peut exprimer par radical.

Donc ça signifie qu'à ta question la réponse est non. On ne peut pas
toujours.
Michel Talon
2017-06-18 13:04:56 UTC
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Post by Julien Arlandis
On est d'accord que toute solution polynomiale de quelque degré que ce
soit peut toujours s'exprimer sous la forme de radicaux, et que c'est
juste la méthode de résolution qui ne peut plus être généralisée à
partir du degré 5 ?
Non on n'est pas d'accord. Si l'équation a des solutions qui s'expriment
avec des radicaux la théorie de Galois dit que le groupe de Galois est
résoluble, ce qui n'est pas le cas en général.
--
Michel Talon
Julien Arlandis
2017-06-18 14:43:05 UTC
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Raw Message
Post by Michel Talon
Post by Julien Arlandis
On est d'accord que toute solution polynomiale de quelque degré que ce
soit peut toujours s'exprimer sous la forme de radicaux, et que c'est
juste la méthode de résolution qui ne peut plus être généralisée à
partir du degré 5 ?
Non on n'est pas d'accord. Si l'équation a des solutions qui s'expriment
avec des radicaux la théorie de Galois dit que le groupe de Galois est
résoluble, ce qui n'est pas le cas en général.
Merci pour les précisions, j'avais mal interprété la théorie de
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions
continues, radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions
trigonométriques, autres... )?
Samuel DEVULDER
2017-06-18 15:23:01 UTC
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Raw Message
On Sun, 18 Jun 17 14:43:05 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions
continues, radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions
trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles
s'expriment avec des expressions utilisant des radicaux, les coefs du
polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes
algébriques solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs
du polynôme d'origine (ce que j'appelle, suivant les conventions des
logiciels de calcul formel, des RootOf(polynôme) ).

Un exemple de telles constantes: i=RootOf(x^2+1) (au signe près).
Mais celles qui utilisent des polynômes de degré plus petit que 4
peuvent s'exprimer en fonction de radicaux et ne sont pas utiles et
exposés aux utilisateurs de logiciels formels (les utilisateurs
préfèrent les expressions toutes moche avec de belles racines carrés
ou cybiques). Les autres RootOf(), de degré plus grand que 5, font
toute la différence entre les nombres à radicaux et les autres.

Bref, ce sont ces nouvelles constantes RootOf(), algebriquement
indépendantes les unes des autres, qui font la différence entre
nombres exprimables par radicaux et les autres.
Julien Arlandis
2017-06-18 15:49:35 UTC
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Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
On Sun, 18 Jun 17 14:43:05 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions
continues, radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions
trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles
s'expriment avec des expressions utilisant des radicaux, les coefs du
polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes
algébriques solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs
du polynôme d'origine (ce que j'appelle, suivant les conventions des
logiciels de calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Je ne comprends toujours pas.
Une expression composée d'une combinaison de radicaux reste une
expression de radicaux. Donc si on exprime les racines d'un polynôme de
degré 5 au moyen de constantes algébriques issues de racines de
polynômes de degrés inférieurs dont on sait qu'elles s'expriment par
radicaux, l'expression reste une expression par radicaux.
Samuel DEVULDER
2017-06-18 17:57:29 UTC
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Raw Message
On Sun, 18 Jun 17 15:49:35 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Une expression composée d'une combinaison de radicaux reste une
expression de radicaux.
L'expression comporte certes des radicaux, mais ce n'est pas une
_solution par radicaux_ par ce qu'on y trouve autre chose que des
combinaisons des coefs du polynôme à résoudre.

Par définition, une solution par radical ne contient que les
opération - + / * ainsi que des puissances rationnelles appliqués
exclusivement aux coefs de l'équation polynômiale à résoudre.

J'espére avoir été plus clair.

À+ Sam.
Emphyrio
2017-06-19 09:27:42 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
On Sun, 18 Jun 17 14:43:05 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions
continues, radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions
trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles
s'expriment avec des expressions utilisant des radicaux, les coefs du
polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes algébriques
solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs du polynôme
d'origine (ce que j'appelle, suivant les conventions des logiciels de
calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Je ne comprends toujours pas.
Une expression composée d'une combinaison de radicaux reste une
expression de radicaux. Donc si on exprime les racines d'un polynôme de
degré 5 au moyen de constantes algébriques issues de racines de
polynômes de degrés inférieurs dont on sait qu'elles s'expriment par
radicaux, l'expression reste une expression par radicaux.
+1

Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes de
degré deux et trois. Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0 devraient
avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?


M.A
Emphyrio
2017-06-19 09:32:36 UTC
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Raw Message
Post by Emphyrio
Post by Julien Arlandis
Post by Samuel DEVULDER
On Sun, 18 Jun 17 14:43:05 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions
continues, radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions
trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles
s'expriment avec des expressions utilisant des radicaux, les coefs du
polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes algébriques
solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs du polynôme
d'origine (ce que j'appelle, suivant les conventions des logiciels de
calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Je ne comprends toujours pas.
Une expression composée d'une combinaison de radicaux reste une
expression de radicaux. Donc si on exprime les racines d'un polynôme de
degré 5 au moyen de constantes algébriques issues de racines de
polynômes de degrés inférieurs dont on sait qu'elles s'expriment par
radicaux, l'expression reste une expression par radicaux.
+1
Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes de
degré deux et trois. Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0 devraient
avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?
M.A
Ps : Quand le degré de P(x) >=5
Julien Arlandis
2017-06-19 09:39:35 UTC
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Raw Message
Post by Emphyrio
+1
Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes de
degré deux et trois. Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0 devraient
avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?
M.A
C'est une très bonne remarque, faut voir aussi l'expression des
coefficients des sous-polynômes. Faut il qu'ils soient algébriques ou
doit on se restreindre à des coefficients rationnels?
Emphyrio
2017-06-19 10:05:00 UTC
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Raw Message
Post by Julien Arlandis
Post by Emphyrio
+1
Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes de
degré deux et/ou trois. Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0
devraient avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?
M.A
C'est une très bonne remarque, faut voir aussi l'expression des
coefficients des sous-polynômes. Faut il qu'ils soient algébriques ou
doit on se restreindre à des coefficients rationnels?
Erratum : Il fallait comprendre "un produit de polynômes de degré deux
et/ou de degré trois".


Je pense que c'est valable pour tous les coefficients algébriques mais
pas pour les nombres transcendants comme e ou Pi etc...


M.A
Samuel DEVULDER
2017-06-19 11:15:38 UTC
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Raw Message
Post by Emphyrio
Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes de
degré deux et trois.
Oui, mais as tu une idée de l 'allure des coefs de ces
sous-polynômes? Dans le cas général ce ne sera pas des expressions
par radicaux utilisant exclusivement les coefs du poly initial. Il y
aura des constantes "nouvelles" racine d'autres polynômes.
Post by Emphyrio
Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0 devraient
avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?
Non car si les coefs des sous polynômes ne sont pas des expressions
par radicaux utilisant exclusivement les coefs du poly de départ,
leur racines ne le seront pas non plus car elles seront polluées par
les nouvelles constantes dont j'ai parlé plus haut.

J'espére avoir été plus clair. Une solution par radical ne doit pas
(par définition) combiner d'autres constantes celles qui figurent
dans le polynôme de départ. S'il y à d'autres constantes c'est perdu
! ;)

À+ Sam
Julien Arlandis
2017-06-19 11:58:20 UTC
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Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
Post by Emphyrio
Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes
de
Post by Emphyrio
degré deux et trois.
Oui, mais as tu une idée de l 'allure des coefs de ces
sous-polynômes? Dans le cas général ce ne sera pas des expressions
par radicaux utilisant exclusivement les coefs du poly initial. Il y
aura des constantes "nouvelles" racine d'autres polynômes.
Post by Emphyrio
Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0 devraient
avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?
Non car si les coefs des sous polynômes ne sont pas des expressions
par radicaux utilisant exclusivement les coefs du poly de départ,
leur racines ne le seront pas non plus car elles seront polluées par
les nouvelles constantes dont j'ai parlé plus haut.
J'espére avoir été plus clair. Une solution par radical ne doit pas
(par définition) combiner d'autres constantes celles qui figurent
dans le polynôme de départ. S'il y à d'autres constantes c'est perdu
! ;)
À+ Sam
La question n'est pas de savoir si on peut facilement construire la racine
comme un radical fonction des coefficients du polynôme, mais de savoir
si on peut l'exprimer comme un radical tout court. Pour l'instant, les
explications fournies ne me paraissent pas convaincante.
Julien Arlandis
2017-06-19 11:58:48 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
Post by Emphyrio
Ainsi tout P(x) peut se composer à l'aide d'un produit de polynomes
de
Post by Emphyrio
degré deux et trois.
Oui, mais as tu une idée de l 'allure des coefs de ces
sous-polynômes? Dans le cas général ce ne sera pas des expressions
par radicaux utilisant exclusivement les coefs du poly initial. Il y
aura des constantes "nouvelles" racine d'autres polynômes.
Post by Emphyrio
Dès lors toutes les solutions de P(x) = 0 devraient
avoir des solutions avec une expression par radicaux non ?
Non car si les coefs des sous polynômes ne sont pas des expressions
par radicaux utilisant exclusivement les coefs du poly de départ,
leur racines ne le seront pas non plus car elles seront polluées par
les nouvelles constantes dont j'ai parlé plus haut.
J'espére avoir été plus clair. Une solution par radical ne doit pas
(par définition) combiner d'autres constantes celles qui figurent
dans le polynôme de départ. S'il y à d'autres constantes c'est perdu
! ;)
À+ Sam
La question n'est pas de savoir si on peut facilement exprimer la racine
comme un radical fonction des coefficients du polynôme, mais de savoir si
on peut l'exprimer comme un radical tout court. Pour l'instant, les
explications fournies ne me paraissent pas convaincante.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:08:49 UTC
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Raw Message
On Mon, 19 Jun 17 11:58:48 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
La question n'est pas de savoir si on peut facilement exprimer la racine
comme un radical fonction des coefficients du polynôme,
C'est précisément cela la recherche d'une solution par radicaux d'un
polynôme. (par definition )

mais de savoir si
Post by Julien Arlandis
on peut l'exprimer comme un radical tout court.
Alors la c'est moi qui suis perdu. Tu voudrais savoir quels Polynômes
P(x) posséde constante^(1/k) comme racine ? C'est trivial.
ast
2017-06-19 12:01:03 UTC
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Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions continues, radicaux imbriqués
infinis, séries, fonctions trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles s'expriment avec des expressions
utilisant des radicaux, les coefs du polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes
algébriques solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs du polynôme d'origine (ce que
j'appelle, suivant les conventions des logiciels de calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Bonjour

Pourrais tu nous montrer ce que ça donne avec X^5 - 5X - 1 = 0
si tu as sous la main un log capable de le faire ?
ast
2017-06-19 12:06:12 UTC
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Raw Message
Post by ast
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions continues, radicaux imbriqués
infinis, séries, fonctions trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles s'expriment avec des expressions
utilisant des radicaux, les coefs du polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes
algébriques solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs du polynôme d'origine (ce
que j'appelle, suivant les conventions des logiciels de calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Bonjour
Pourrais tu nous montrer ce que ça donne avec X^5 - 5X - 1 = 0
si tu as sous la main un log capable de le faire ?
Il y a quelque chose que je ne comprends pas avec ton explication.
Dans le cas d'un polynôme de degré 5, les constantes racines de
polynômes plus petits dont tu parles sont exprimables avec les radicaux
(car d° <=4), et donc l'équation de d° 5 serait elle aussi résoluble par
radicaux. Or ce n'est pas le cas.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:32:58 UTC
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Post by ast
radicaux. Or ce n'est pas le cas.
Tout dépend du polynôme de départ. En l'occurrence pour ce polynôme
toutes les racines sont des RootOf sans radicaux.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:38:56 UTC
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On Mon, 19 Jun 2017 15:32:58 +0200, Samuel DEVULDER
Post by Samuel DEVULDER
Tout dépend du polynôme de départ. En l'occurrence pour ce polynôme
toutes les racines sont des RootOf sans radicaux.
Avec celui ci c'est un poil différent http://wolfr.am/mxbRLW44

On a toujours pas de radicaux mais les RootOf sont d'un polynôme plus
petit.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:13:13 UTC
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Post by ast
Pourrais tu nous montrer ce que ça donne avec X^5 - 5X - 1 = 0
si tu as sous la main un log capable de le faire ?
Je suis sur un vieux smartphone de 2012 en ce moment et à part
wolfram-alpha sur le web je n'ait rien de mieux.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:14:45 UTC
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Post by ast
Pourrais tu nous montrer ce que ça donne avec X^5 - 5X - 1 = 0
si tu as sous la main un log capable de le faire
Mapple ferait ça très bien je pense.
Samuel DEVULDER
2017-06-19 13:28:53 UTC
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On Mon, 19 Jun 2017 15:14:45 +0200, Samuel DEVULDER
Post by Samuel DEVULDER
Mapple ferait ça très bien je pense.
Avec un seul p :)

Sinon wolframalpha donne http://wolfr.am/mxaUJHdi
Michel Talon
2017-06-19 21:36:46 UTC
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Post by ast
Post by Samuel DEVULDER
On Sun, 18 Jun 17 14:43:05 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions
continues, radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions
trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles
s'expriment avec des expressions utilisant des radicaux, les coefs du
polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes algébriques
solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs du polynôme
d'origine (ce que j'appelle, suivant les conventions des logiciels de
calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Bonjour
Pourrais tu nous montrer ce que ça donne avec X^5 - 5X - 1 = 0
si tu as sous la main un log capable de le faire ?
tycho% maple
|\^/| Maple 13 (X86 64 LINUX)
._|\| |/|_. Copyright (c) Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc.
2009
\ MAPLE / All rights reserved. Maple is a trademark of
<____ ____> Waterloo Maple Inc.
| Type ? for help.
Post by ast
solve(x^5-5*x -1=0);
5 5
RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 1), RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 2),

5 5
RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 3), RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 4),

5
RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 5)


En d'autres termes, pour cette équation il n'y a aucune manière
d'exprimer les racines à partir de radicaux plus simples. S'il y avait
moyen d'exprimer les racines avec des formules contenant des radicaux,
quels qu'ils soient, le groupe de Galois serait résoluble, c'est la
théorie des extensions cyclotomiques qui le dit (elle explique comment
est une extension obtenue en ajoutant un radical). Si le groupe de
Galois, sans être résoluble a certaines propriétés, alors il est
possible de ramener la solution à des équations de degré inférieur.
C'est la correspondance de Galois. Mais ce n'est pas le cas général.
--
Michel Talon
ast
2017-06-20 09:04:28 UTC
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Post by Michel Talon
Post by ast
Galois. Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions continues, radicaux
imbriqués infinis, séries, fonctions trigonométriques, autres... )?
Je j'ai déjà écrit mais j' ai du mal me faire comprendre. Elles s'expriment avec des expressions
utilisant des radicaux, les coefs du polynôme d'origine et _surtout_ quelques autres constantes
algébriques solutions d'autres polynômes plus petits issus des coefs du polynôme d'origine (ce
que j'appelle, suivant les conventions des logiciels de calcul formel, des RootOf(polynôme) ).
Bonjour
Pourrais tu nous montrer ce que ça donne avec X^5 - 5X - 1 = 0
si tu as sous la main un log capable de le faire ?
tycho% maple
|\^/| Maple 13 (X86 64 LINUX)
._|\| |/|_. Copyright (c) Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. 2009
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Post by ast
solve(x^5-5*x -1=0);
5 5
RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 1), RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 2),
5 5
RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 3), RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 4),
5
RootOf(_Z - 5 _Z - 1, index = 5)
En d'autres termes, pour cette équation il n'y a aucune manière d'exprimer les racines à partir de
radicaux plus simples. S'il y avait moyen d'exprimer les racines avec des formules contenant des
radicaux,
quels qu'ils soient, le groupe de Galois serait résoluble, c'est la théorie des extensions
cyclotomiques qui le dit (elle explique comment est une extension obtenue en ajoutant un radical).
Si le groupe de Galois, sans être résoluble a certaines propriétés, alors il est possible de
ramener la solution à des équations de degré inférieur. C'est la correspondance de Galois. Mais ce
n'est pas le cas général.
--
Michel Talon
C'est clair, merci
Tintin
2017-06-18 16:28:29 UTC
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Post by Michel Talon
Post by Julien Arlandis
On est d'accord que toute solution polynomiale de quelque degré que
ce soit peut toujours s'exprimer sous la forme de radicaux, et que
c'est juste la méthode de résolution qui ne peut plus être
généralisée à partir du degré 5 ?
Non on n'est pas d'accord. Si l'équation a des solutions qui
s'expriment avec des radicaux la théorie de Galois dit que le groupe
de Galois est résoluble, ce qui n'est pas le cas en général.
Merci pour les précisions, j'avais mal interprété la théorie de Galois.
Mais comment exprimer ces racines sans radicaux (fractions continues,
radicaux imbriqués infinis, séries, fonctions trigonométriques,
autres... )?
Pour pouvoir écrire les racines d'équations polynomiales non résolubles
par radicaux on peut utiliser les fonctions elliptiques.
Tintin
2017-06-18 11:26:26 UTC
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Post by Michel Talon
Post by Tintin
A partir du degré 5, on sait qu'une équation polynomiale n'est pas
nécessairement résoluble par radicaux. Cela étant, si l'on prend une
équation polynomiale dont on sait que les solutions peuvent s'écrire
avec des radicaux, existe-t-il une méthode qui permet de le faire
systématiquement ?
La théorie de Galois te dit qu'une équation est résoluble par radicaux
s'il existe une tour de sous-groupes distingués l'un dans l'autre,
correspondant à des sous corps s'obtenant l'un par rapport à l'autre par
adjonction de radicaux. Donc implicitement ceci est le moyen d'exprimer
les racines par radicaux.
En fait, je ne suis pas du tout un spécialiste de la théorie de Galois
(ceci explique peut-être cela) mais d'après ce que tu dis, trouver cette
tour de sous-groupes et de sous-corps semble reposer sur une résolution
algébrique de l'équation. Dans ce cas, en quoi la théorie de Galois
apporte-t-elle quelque chose d'utile ?
Michel Talon
2017-06-18 13:26:49 UTC
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Post by Tintin
En fait, je ne suis pas du tout un spécialiste de la théorie de Galois
(ceci explique peut-être cela) mais d'après ce que tu dis, trouver cette
tour de sous-groupes et de sous-corps semble reposer sur une résolution
algébrique de l'équation. Dans ce cas, en quoi la théorie de Galois
apporte-t-elle quelque chose d'utile ?
Il existe des méthodes pour calculer le groupe de Galois (sans connaître
les racines bien sûr) qui sont implémentées dans certains logiciels de
calcul formel. Et le connaissant il existe des méthodes pour savoir s'il
est résoluble ou non. Donc la théorie apporte une connaissance effective.
Voir par exemple
http://jncf2008.loria.fr/slides/renault.pdf
--
Michel Talon
Tintin
2017-06-18 16:24:26 UTC
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Post by Michel Talon
Post by Tintin
En fait, je ne suis pas du tout un spécialiste de la théorie de Galois
(ceci explique peut-être cela) mais d'après ce que tu dis, trouver
cette tour de sous-groupes et de sous-corps semble reposer sur une
résolution algébrique de l'équation. Dans ce cas, en quoi la théorie
de Galois apporte-t-elle quelque chose d'utile ?
Il existe des méthodes pour calculer le groupe de Galois (sans connaître
les racines bien sûr) qui sont implémentées dans certains logiciels de
calcul formel. Et le connaissant il existe des méthodes pour savoir s'il
est résoluble ou non. Donc la théorie apporte une connaissance effective.
Voir par exemple
http://jncf2008.loria.fr/slides/renault.pdf
D'accord.
Tintin
2017-06-18 08:45:58 UTC
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Post by Emphyrio
Post by Emphyrio
Post by Tintin
Bonsoir,
Considérons une équation polynomiale P(x)=0 dont on est sûr qu'elle est
résoluble par radicaux (par la théorie de Galois par exemple).
Question : existe-t-il une méthode qui permet à coup sûr d'exprimer ses
solutions à l'aide de radicaux.
Merci
Sauf cas particuliers, seuls les polynômes de degré inférieur ou égale à
4 sont solubles avec l'aide de radicaux et les formules de résolution
sont générales et parfaitement établies.
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ca/node22.html
M.A
Ps : Cela dit, j'ai peut-être mal compris la question...
Pour les degrés 3 et 4 pas de problème, nous sommes d'accord.

A partir du degré 5, on sait qu'une équation polynomiale n'est pas
nécessairement résoluble par radicaux. Cela étant, si l'on prend une
équation polynomiale dont on sait que les solutions peuvent s'écrire
avec des radicaux, existe-t-il une méthode qui permet de le faire
systématiquement ?
MAIxxx
2017-06-20 09:59:38 UTC
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Post by Tintin
Bonsoir,
Considérons une équation polynomiale P(x)=0 dont on est sûr qu'elle est
résoluble par radicaux (par la théorie de Galois par exemple).
Question : existe-t-il une méthode qui permet à coup sûr d'exprimer ses
solutions à l'aide de radicaux.
Merci
Il faut préciser si les coefficents de p(x) sont rationnels (ou
entiers), réels algébriques, ou complexes.

Rappeler que quand on a des racines complexes et réelles pour un
polynôme à coefficients réels, les racines complexes sont conjuguées
deux par deux.

Peut-on aussi parler de radicaux pour l'équation du 3ème degré
x^3 + px + q =0 avec trois racines réelles 4p^3 + 27q² >0
il s'agit de racines cubiques de nombres complexes (cf la "trisection
de l'angle"). Dans ce cas on emploie une forme du genre
..cos(1/3 .arccos(u)..) qui n'a rien d'un "radical" au sens habituel.
--
Si vous mettez deux Français ensemble, et s'ils sont d'accord sur tout,
c'est qu'un des deux est un étranger.
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