Discussion:
Générateur de formules
(trop ancien pour répondre)
Julien Arlandis
2017-05-29 11:03:33 UTC
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Dans cet article, je présente une recette généralisée pour obtenir des
formules contenant une infinité de termes à la manière des formules de
Ramanujan :

A_x = G \big( G^{-1}(x) - F(x_{+}) + F(A_{x_{+}} ) \big)

On appelle A_x la fonction génératrice de x.
x_{+} est appelé l'incrément, il sera généralement défini
comme x_{+} = x + 1 ou x_{+} = x - 1 .
G et F deux fonctions définies dans le même
intervalle, G^{-1} est la fonction réciproque de G.

Avec ce formalisme, pour tout réel x appartenant à l'ensemble de
définition de G et F, on a x = A_x.

Vérification :


A_x = G \big( G^{-1}(x) - F(x_{+}) + F(A_{x_{+}} ) \big)


A_x = G \big( G^{-1}(x) - F(x_{+}) + F(x_{+} ) \big)


A_x = G \big( G^{-1}(x) \big)


A_x = x


En remplaçant une première fois A_{x_+} par son expression on
obtient:


A_x = G \big( G^{-1}(x) - F(x_{+}) + F( G \big( G^{-1}(x_{+}) - F(x_{++})
+ F(A_{x_{++}} ) ) \big)


On continue en remplaçant A_{x_{++}} par sa nouvelle
expression :


A_x = G \big( G^{-1}(x) - F(x_{+}) + F( G \big( G^{-1}(x_{+}) - F(x_{++})
+ F(( G \big( G^{-1}(x_{++}) - F(x_{+++}) + F(A_{x_{+++}} ) ) ) \big)


Et ainsi de suite jusqu'à l'infini...

Application :

Dans l'ensemble des réels positifs, on définit :
G(x) = \sqrt{x}
G^{-1}(x) = x^2
F(x) = -2 x
x_{+} = x+1

A_x est donc défini par :
A_x = \sqrt{ x^2 + 2(x+1) - 2A_{x+1} } = \sqrt{ (x+1)^2 + 1 -
2A_{x+1} }

En écrivant 0 = A_x, on obtient de manière récursive
l'expression :

0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n
- 2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }
où u_n = (n+1)^2 + 1

À vous de tester :)
--
Pour lire les formules latex de ce message avec Nemo :
<http://news2.nemoweb.net/?DataID=_1YaYGjdLAT-***@jntp>
Julien Arlandis
2017-05-29 21:22:00 UTC
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Post by Julien Arlandis
G(x) = \sqrt{x}
G^{-1}(x) = x^2
F(x) = -2 x
x_{+} = x+1
A_x = \sqrt{ x^2 + 2(x+1) - 2A_{x+1} } = \sqrt{ (x+1)^2 + 1 - 2A_{x+1}
}
En écrivant 0 = A_x, on obtient de manière récursive l'expression
0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n -
2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }
où u_n = (n+1)^2 + 1
En définissant le générateur suivant :

A_x = 2x+1 -2(x+1) + A_{x_+}
avec x_{+} = x+1

On peut construire le nombre 0 en posant 0 = A_0, et fait
remarquable il s'avère que ce nombre 0 a exactement la même expression
que la série des entiers alternés :
0 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 ...

Sauf erreur de ma part, le générateur A_x = 2x+1 -2(x+1) +
A_{x_+} montre que la série des entiers alternée est une autre
expression grammaticale du nombre 0 exactement au même titre que cette
autre expression de 0:
0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n
- 2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }

Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la
valeur 1/4 à la somme de la série des entiers alternés.

Qu'en penser ?
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=zZljKHIrvkNryUW-***@jntp>
Julien Arlandis
2017-05-29 21:28:28 UTC
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Post by Julien Arlandis
G(x) = \sqrt{x}
G^{-1}(x) = x^2
F(x) = -2 x
x_{+} = x+1
A_x = \sqrt{ x^2 + 2(x+1) - 2A_{x+1} } = \sqrt{ (x+1)^2 + 1 - 2A_{x+1}
}
En écrivant 0 = A_x, on obtient de manière récursive l'expression
0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n -
2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }
où u_n = (n+1)^2 + 1
En définissant le générateur suivant :

A_x = [2x+1] - [2(x+1)] + A_{x_+}
avec x_{+} = x+1

On peut construire le nombre 0 en posant 0 = A_0, et fait
remarquable il s'avère que ce nombre 0 a exactement la même expression
que la série des entiers alternés :
0 = [1] - [2] + [3] - [4] + [5] - [6] + [7] - [8] ...

Sauf erreur de ma part, le générateur A_x = 2x+1 -2(x+1) +
A_{x_+} montre que la série des entiers alternée est une autre
expression grammaticale du nombre 0 exactement au même titre que cette
autre expression de 0:
0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n
- 2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }

Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la
valeur 1/4 à la somme de la série des entiers alternés.

Qu'en penser ?
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=QbSEfM3GT-***@jntp>
Julien Arlandis
2017-05-30 10:24:07 UTC
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Post by Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
G(x) = \sqrt{x}
G^{-1}(x) = x^2
F(x) = -2 x
x_{+} = x+1
A_x = \sqrt{ x^2 + 2(x+1) - 2A_{x+1} } = \sqrt{ (x+1)^2 + 1 - 2A_{x+1}
}
En écrivant 0 = A_x, on obtient de manière récursive l'expression
0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n -
2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }
où u_n = (n+1)^2 + 1
A_x = [2x+1] - [2(x+1)] + A_{x_+}
avec x_{+} = x+1
On peut construire le nombre 0 en posant 0 = A_0, et fait remarquable
il s'avère que ce nombre 0 a exactement la même expression que la série des
0 = [1] - [2] + [3] - [4] + [5] - [6] + [7] - [8] ...
Sauf erreur de ma part, le générateur A_x = 2x+1 -2(x+1) + A_{x_+}
montre que la série des entiers alternée est une autre expression grammaticale
0 = \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{ 17 - 2\sqrt{25 - ... \sqrt{u_n -
2\sqrt{u_{n+1} -2...} } } } } }
Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la valeur 1/4
à la somme de la série des entiers alternés.
Qu'en penser ?
Avec le générateur A_x = [x] [-] [x] [+] A_x
on obtient une expression d'un nombre réel x sous la forme
x = [x] [-] [x] [+] [x] [-] [x] [+] [x] [-] [x] [+] [x] [-] [x] [+] ...

en simplifiant les crochets :
x = x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + ...

Notons bien que les 3 points de suspension figurent après un +.
En revanche, cette écriture presque similaire à la précédente n'est
pas une expression de x :
x ≠ x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + x - x + x - ...

En considérant le cas x = 1, on obtient une expression du nombre 1 :
1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=***@jntp>
Samuel DEVULDER
2017-05-30 15:18:43 UTC
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On Mon, 29 May 17 21:28:28 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la
valeur 1/4 à la somme de la série des entiers alternés.
Qu'en penser ?
Qu'il faut se méfier des qu'on voit des points de suspension dans une
expression mathématiques car même si l'on considère que ces point
cachent de menus détails, il ne faut pas oublier que le diable s'y
cache (dans les détails justement).

Une vidéo pour illustrer:
(si je ne me
suis pas planté avec les urls)
Olivier Miakinen
2017-05-30 15:50:14 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Post by Julien Arlandis
Qu'en penser ?
Qu'il faut se méfier des qu'on voit des points de suspension dans une
expression mathématiques car même si l'on considère que ces point
cachent de menus détails, il ne faut pas oublier que le diable s'y
cache (dans les détails justement).
Une vidéo pour illustrer: http://youtu.be/leFep9yt3JY (si je ne me
suis pas planté avec les urls)
Merci Samuel : c'est exactement ce que je tentais d'expliquer à
Julien samedi dernier, mais je n'ai pas le talent de Mathologer.
--
Olivier Miakinen
Benoit
2017-05-30 19:29:44 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
On Mon, 29 May 17 21:28:28 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la
valeur 1/4 à la somme de la série des entiers alternés.
Qu'en penser ?
Qu'il faut se méfier des qu'on voit des points de suspension dans une
expression mathématiques car même si l'on considère que ces point
cachent de menus détails, il ne faut pas oublier que le diable s'y
cache (dans les détails justement).
Une vidéo pour illustrer: http://youtu.be/leFep9yt3JY (si je ne me
suis pas planté avec les urls)
Merci beaucoup.
--
On s'occupe de l'étiquette qu'une fois les vendanges terminées.
Julien Arlandis
2017-05-30 21:53:23 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
On Mon, 29 May 17 21:28:28 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Pourtant les méthodes de sommation d'Abel et de Borel attribuent la
valeur 1/4 à la somme de la série des entiers alternés.
Qu'en penser ?
Qu'il faut se méfier des qu'on voit des points de suspension dans une
expression mathématiques car même si l'on considère que ces point
cachent de menus détails, il ne faut pas oublier que le diable s'y
cache (dans les détails justement).
Une vidéo pour illustrer: http://youtu.be/leFep9yt3JY (si je ne me
suis pas planté avec les urls)
Merci pour la vidéo mais je l'avais déjà visionnée. Vous avez 1000
fois raison de vous méfier des points de suspension à plus forte raison
lorsque l'on décrit des séries divergentes, c'est pourquoi j'ai pris
suffisamment de précaution pour être le plus précis possible.

Reprenons la série de Grandi 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + ...

Avec le générateur dont j'ai il me semble bien défini la grammaire, on
peut exprimer le nombre 1 sous la forme d'une série de Grandi, mais en
prenant bien la précaution de positionner les 3 "..." après un nombre
pair de termes, c'est à dire immédiatement après un +.

Voyons un peu plus ce qui se passe si on décale les ... après un nombre
impair de termes.

Par construction on a :
1 = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
par linéarité :
-1 = -1 + 1 - 1 + 1 - ...
par stabilité :
+1-1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

En respectant rigoureusement les propriétés que doivent vérifier les
méthodes de sommation généralisées, on voit que les "..." situés
après un nombre impair de termes dans la série de grandi représente une
expression du nombre 0.
J'ignore si ma méthode est consistante, pour le savoir il faudrait
démontrer que tous les générateurs qui aboutissent à une même
expression désignent le même nombre. Pour le moment je n'ai pas vraiment
trouvé de contre exemple.

Ce qui est intéressant avec ce formalisme, c'est que la série de Grandi
peut désigner soit le nombre 1, soit le nombre 0 selon que l'on
positionne les "..." après un nombre pair ou impair de termes. Les
méthodes de sommation à la fois stables, régulières et linéaires
aboutissent toutes à attribuer à la série de grandi la valeur 1/2 qui
se trouve étrangement être la valeur moyenne des deux valeurs que l'on
peut attribuer à la série de Grandi. C'est peut être juste une
coïncidence...
Samuel DEVULDER
2017-05-31 05:40:02 UTC
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On Tue, 30 May 17 21:53:23 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
méthodes de sommation à la fois stables, régulières et linéaires
aboutissent toutes à attribuer à la série de grandi la valeur 1/2 qui
se trouve étrangement être la valeur moyenne des deux valeurs que l'on
peut attribuer à la série de Grandi. C'est peut être juste une
coïncidence...
Non c'est logique et ça découle d'une de certaines hypothèses des
méthodes de sommation. Si la moyenne des sommes partielle existe
alors ça converge vers elle il me semble via un ensemble minimal
d'hypothèses communes à plusieurs de ces méthodes si j'ai bonne
mémoire.
Julien Arlandis
2017-05-31 08:36:41 UTC
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Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
On Tue, 30 May 17 21:53:23 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
méthodes de sommation à la fois stables, régulières et linéaires
aboutissent toutes à attribuer à la série de grandi la valeur 1/2
qui
Post by Julien Arlandis
se trouve étrangement être la valeur moyenne des deux valeurs que
l'on
Post by Julien Arlandis
peut attribuer à la série de Grandi. C'est peut être juste une
coïncidence...
Non c'est logique et ça découle d'une de certaines hypothèses des
méthodes de sommation. Si la moyenne des sommes partielle existe
alors ça converge vers elle il me semble via un ensemble minimal
d'hypothèses communes à plusieurs de ces méthodes si j'ai bonne
mémoire.
Même si l'expression 1=1-1+1-1+... parait vraiment contre intuitive, il
semblerait qu'elle donne sur cet exemple précis des résultats cohérents
en accord avec les méthodes de sommation généralisées.
Mais soyons encore plus précis, concernant les "...", rien n'indique dans
l'expression qu'ils sont automatiquement positionnés après un nombre
pair de termes, on pourrait imaginer une expression où les "..."
devraient occuper une position après un nombre triple de termes, auquel
cas la seule grammaire des "..." ne permettra pas de lever
l'indétermination.

Pour lever cette ambiguïté, je propose de remplacer les "..." par
l'expression formelle du générateur placée entre crochets. Reprenons
l'exemple du générateur :
A_x = [x] [-] [x] [+] A_x+ avec x+ = x

Pour x = 1 on obtient :
S = 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + [ 1 - 1 + ... ] par construction
-S = -1 = -1 + 1 - 1 + 1 - [ 1 + 1 - ... ] par linéarité
1 - S = 0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - [ 1 + 1 - ... ] par stabilité

C'est plus clair non?
--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=***@jntp>
Julien Arlandis
2017-05-31 08:37:26 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
On Tue, 30 May 17 21:53:23 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
méthodes de sommation à la fois stables, régulières et linéaires
aboutissent toutes à attribuer à la série de grandi la valeur 1/2
qui
Post by Julien Arlandis
se trouve étrangement être la valeur moyenne des deux valeurs que
l'on
Post by Julien Arlandis
peut attribuer à la série de Grandi. C'est peut être juste une
coïncidence...
Non c'est logique et ça découle d'une de certaines hypothèses des
méthodes de sommation. Si la moyenne des sommes partielle existe
alors ça converge vers elle il me semble via un ensemble minimal
d'hypothèses communes à plusieurs de ces méthodes si j'ai bonne
mémoire.
Même si l'expression 1=1-1+1-1+... parait vraiment contre intuitive, il
semblerait qu'elle donne sur cet exemple précis des résultats cohérents
en accord avec les méthodes de sommation généralisées.
Mais soyons encore plus précis, concernant les "...", rien n'indique dans
l'expression qu'ils sont automatiquement positionnés après un nombre
pair de termes, on pourrait imaginer une expression où les "..."
devraient occuper une position après un nombre triple de termes, auquel
cas la seule grammaire des "..." ne permettra pas de lever
l'indétermination.

Pour lever cette ambiguïté, je propose de remplacer les "..." par
l'expression formelle du générateur placée entre crochets. Reprenons
l'exemple du générateur :
A_x = [x] [-] [x] [+] A_{x_+} avec x+ = x

Pour x = 1 on obtient :
S = 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + [ 1 - 1 + ... ] par construction
-S = -1 = -1 + 1 - 1 + 1 - [ 1 + 1 - ... ] par linéarité
1 - S = 0 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - [ 1 + 1 - ... ] par stabilité

C'est plus clair non?
Samuel DEVULDER
2017-05-31 11:07:53 UTC
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On Wed, 31 May 17 08:37:26 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Pour lever cette ambiguïté, je propose de remplacer les "..." par
l'expression formelle du générateur placée entre crochets. Reprenons
Plus simple qu'un générateur... Je me demande si l'expression
régulière minimale représentant l'expression ne serait pas non plus
une idée exploitable. (si l'expression est représentable par
expressions-régulières).

Il me semble que la puissance de l'automate sous-jacent impose une
contraite suffisamment forte pour déterminer la valeur de
l'expression avec points de suspension. Mais peut être que j'ai une
mauvaise intuition.
Julien Arlandis
2017-05-31 11:39:57 UTC
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Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
On Wed, 31 May 17 08:37:26 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
Pour lever cette ambiguïté, je propose de remplacer les "..." par
l'expression formelle du générateur placée entre crochets. Reprenons
Plus simple qu'un générateur... Je me demande si l'expression
régulière minimale représentant l'expression ne serait pas non plus
une idée exploitable. (si l'expression est représentable par
expressions-régulières).
Il me semble que la puissance de l'automate sous-jacent impose une
contraite suffisamment forte pour déterminer la valeur de
l'expression avec points de suspension. Mais peut être que j'ai une
mauvaise intuition.
J'ai eu la même intuition, mais voici le problème auquel je me heurte :
Considérons la série des entiers alternée 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
Voyons deux manières différentes de la générer, soit en écrivant :

x = Bx = [2x+1] [-] [2x+2] [+] Bx+
avec x+ = x + 1
Ce qui donne pour x = 0 l'expression :
0 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...

Mais on peut aussi générer la même expression en écrivant
x = Bx = [2x] - [2x+1] [+] Bx+
avec x+ = x+1
Mais en partant cette fois de x = 1/2 !!!
On va donc se retrouver avec :
1/2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...

d'où 0 = 1/2

Ces deux expressions sont équivalentes par leur syntaxe grammaticale mais
pas par la manière dont elles ont été générées.
Si deux robots écrivent simultanément l'expression 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6
+ ... jusqu'à l'infini, nous n'aurons aucun moyen de connaitre
l'algorithme utilisé par chacun d'entre eux pour générer cette même
expression, elle peut tout aussi bien désigner la valeur 0 que toute
autre valeur.

On doit donc en conclure qu'une série infinie représentée par un nombre
fini de termes qui se termine par des points de suspension n'est pas une
grammaire consistante pour désigner un nombre réel. Peut on remplacer
cette expression par le symbole sigma(i=1 à +inf) n(-1)^n-1 ? Je n'ai pas
la réponse...
Samuel DEVULDER
2017-05-31 16:02:03 UTC
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J'ai impression que ce qui coince c'est le manque de parenthèse dans
ces expressions et savoir ce qu'on à le droit de faire avec une
parenthèse contenant ou pas des points de suspension.

Quoique même si les "..." apparaissent hors des parenthèse ça coince
aussi: 1-2+3-4+...
=1+(-2+3)+(-4+5)+....=1+1+1+1... Mais aussi
= (1-2)+(3-4)+....=-1 + -1 + -1 + ...

De toute façon je crois qu'on ne peut pas arbitrairement ajouter des
parenthèses de toute façon. On obtient toujours n'importe quoi en
faisant ça.

En fait c'est normal que ça merde grave pour cette somme avec les
trucs trop naïfs car je crois qu'il faut au moins passer par le
système de sommation d'Abel pour avoir la valeur consistante de 1/4.
Julien Arlandis
2017-06-01 08:28:57 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
J'ai impression que ce qui coince c'est le manque de parenthèse dans
ces expressions et savoir ce qu'on à le droit de faire avec une
parenthèse contenant ou pas des points de suspension.
Quoique même si les "..." apparaissent hors des parenthèse ça coince
aussi: 1-2+3-4+...
=1+(-2+3)+(-4+5)+....=1+1+1+1... Mais aussi
= (1-2)+(3-4)+....=-1 + -1 + -1 + ...
De toute façon je crois qu'on ne peut pas arbitrairement ajouter des
parenthèses de toute façon. On obtient toujours n'importe quoi en
faisant ça.
En fait c'est normal que ça merde grave pour cette somme avec les
trucs trop naïfs car je crois qu'il faut au moins passer par le
système de sommation d'Abel pour avoir la valeur consistante de 1/4.
Clairement, on voit par cet exemple que la sommation d'une série
divergente fait perdre l'associativité.
Le problème des parenthèses ne se poserait pas je pense pour des séries
absolument convergentes, pour des séries semi-convergentes il peut
toutefois subsister quelques subtilités.

Samuel DEVULDER
2017-05-31 16:05:55 UTC
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On Wed, 31 May 17 11:39:57 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
0 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
1/2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
Il n'y a qu'à faire la moyenne pour retrouver la valeur obtenue par
la sommation d'Abel : 1/4
Julien Arlandis
2017-05-31 23:00:19 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
On Wed, 31 May 17 11:39:57 +0000, Julien Arlandis
Post by Julien Arlandis
0 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
1/2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
Il n'y a qu'à faire la moyenne pour retrouver la valeur obtenue par
la sommation d'Abel : 1/4
Le problème c'est qu'on peut construire autant de valeurs que l'on veut
pour cette série...
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