Discussion:
Conjectures vraies non démontrables
(trop ancien pour répondre)
MAIxxxx
2018-03-08 17:29:11 UTC
Permalink
Raw Message
En math, on a pas mal de conjectures non démontrées, plutôt coriaces. Le
grand théorème de Fermat n' a pas résisté, il es vrai, mais après trois
siècles de maux de tête.

La question que je me pose est la suivante :

Existe-t-il des conjectures "vraies" *qu'on ne peut pas démontrer avec
un raisonnement fini* ?
J'entends par vraie, au sens habituel : on *constate* une propriété,
par exemple sur les nombres pairs qui est vraie pour tous les nombres
connus, comme la conjecture de Goldbach (tout nombre pair >2 est la
somme de deux premiers). Cette conjecture sera peut être démontrée un
jour, mais elle, comme d'autres, comme l'hypothèse de Riemann peuvent
très bien résister indéfiniment à notre désir de démonstration et ne pas
pouvoir être démontrées par la voie du raisonnement ordinaire et suppose
un raisonnement sans fin.

On trouverait là la limite de la connaissance, car on ne peut pas faire
un raisonnement de longueur/durée infinie, même si on constate par le
calcul que ces conjectures sont vraies pour un nombre fini accessible de
cas.

Dans ce cas la "non démonstrabilité" pourrait être possible, ce qui est
différent de l'indécidabilité comme dans le cas de l'hypothèse du continu.


A rapprocher des études sur les nombres omega de Chaitin
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/les-nombres-omega-4725.php
https://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9ga_de_Chaitin
--
La folie blesse, le génie [du mal] tue
Samuel DEVULDER
2018-03-08 19:29:49 UTC
Permalink
Raw Message
Post by MAIxxxx
Existe-t-il des conjectures "vraies" *qu'on ne peut pas démontrer avec
un raisonnement fini* ?
Dans ce genre d'idée il y a la propriété TREE(n). On sait démontrer je
crois TREE(n) pour tout n fini avec les axiomes de Peano, mais le nombre
de symboles à utiliser dans la démonstration croit très très vite, si
bien qu'on ne sait pas écrire la démonstration de TREE(3). En fait ca
croit si vite, que les axiomes classiques de Peano (y compris la
récurrence) ne suffit pas pour démontrer que la propriété TREE(n) est
vrai pour tout n. Pour démontrer cela pour tout n il faut sortir du
modèle de base et utiliser des trucs genre axiomes transfinis.

De même la propriété dite de l'hydre de Lerne (Kirby&Paris) ne se
démontre par à partir des axiomes standard, et il faut recourir aux
axiomes transfinis.

Si tu es anglophone, il y a cette excellente video sur TREE(3):
et sinon celle ci en
francais sur l'hydre:
http://eljjdx.canalblog.com/archives/2016/02/12/33360210.html

sam.
Bruno Ducrot
2018-03-08 20:51:25 UTC
Permalink
Raw Message
Post by MAIxxxx
En math, on a pas mal de conjectures non démontrées, plutôt coriaces. Le
grand théorème de Fermat n' a pas résisté, il es vrai, mais après trois
siècles de maux de tête.
Existe-t-il des conjectures "vraies" *qu'on ne peut pas démontrer avec
un raisonnement fini* ?
Non. Pour comprendre l'apparent paradoxe, il faut considérer les axiomes de
l'arthmétique de Peano. Afin d'obtenir le raisonnement par récurrence,
l'on est contraint non pas d'introduire un axiome, mais une infinité (on
appelle cela un schéma d'axiomes).

Or il existe des propositions qui seront démontrables via un
nombre fini de ces axiomes, mais que l'on ne pourra déterminer.
Post by MAIxxxx
J'entends par vraie, au sens habituel : on *constate* une propriété,
par exemple sur les nombres pairs qui est vraie pour tous les nombres
connus, comme la conjecture de Goldbach (tout nombre pair >2 est la
somme de deux premiers). Cette conjecture sera peut être démontrée un
jour, mais elle, comme d'autres, comme l'hypothèse de Riemann peuvent
très bien résister indéfiniment à notre désir de démonstration et ne pas
pouvoir être démontrées par la voie du raisonnement ordinaire et suppose
un raisonnement sans fin.
On trouverait là la limite de la connaissance, car on ne peut pas faire
un raisonnement de longueur/durée infinie, même si on constate par le
calcul que ces conjectures sont vraies pour un nombre fini accessible de
cas.
Dans ce cas la "non démonstrabilité" pourrait être possible, ce qui est
différent de l'indécidabilité comme dans le cas de l'hypothèse du continu.
A rapprocher des études sur les nombres omega de Chaitin
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/les-nombres-omega-4725.php
https://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9ga_de_Chaitin
--
Bruno Ducrot

A quoi ca sert que Ducrot hisse des carcasses ?
Loading...