Discussion:
Point fixe
(trop ancien pour répondre)
Zarake
2017-06-22 17:02:40 UTC
Permalink
Raw Message
Je suis posé le problème suivant(peut être mal posé ou sans solution):

On prend l'ensemble Z et on lui retire les multiples de 2 et de 3. On
obtient l'ensemble Z'

1)A quelle condition peut-on définir une suite récurrente par
u_0
u_n+1 = f(u_n)
avec Z' stable par f ?

2)f peut-elle être strictement croissante, ou admet-elle forcément un
point fixe ?

Note : Il est possible que je me fasse des nœuds au cerveau :-)
Samuel DEVULDER
2017-06-22 17:35:51 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Zarake
1)A quelle condition peut-on définir une suite récurrente par
Il y à plein de fonctions f() qui conviennent.

L'identité par exemple ou d'autres plus rigolos prises comme suit.

Soit P un ensemble fini ou non de nb premiers strictement plus grand
que 3. Soit s une permutation sur P qui à tout p_i associé un p_j.
Soit maintenant la fonction f qui à chaque entier décomposé en
facteurs premiers n=p_a p_b ... associe m=p_s[a] p_s[b]...

Bref on permute les facteurs premier [on garde le signe du nombre
initial].

Reste le cas de1. On lui assigne f(1)=-1 et inversement.
Post by Zarake
2)f peut-elle être strictement croissante,
Oui si tu prends s=identité.
Post by Zarake
ou admet-elle forcément un pt fixe
Non plus. Prends la substitution qui pour P=l'ensemble des premiers
strictement plus grands que 3 qui les échange deux par deux: 5<=>7
11<=>13 etc.

La fonction f associe n'a pas de point fixe.

À+ Sam
Samuel DEVULDER
2017-06-22 17:40:06 UTC
Permalink
Raw Message
On Thu, 22 Jun 2017 19:35:51 +0200, Samuel DEVULDER
Post by Samuel DEVULDER
Reste le cas de1. On lui assigne f(1)=-1 et inversement.
Et les cas -3 et -2... On à qu'à les échanger f(-2)=-3 f(-3)=-2.

C'était juste un micro détail sans importance.

À+ Sam
Samuel DEVULDER
2017-06-22 17:46:35 UTC
Permalink
Raw Message
On Thu, 22 Jun 2017 19:35:51 +0200, Samuel DEVULDER
Post by Samuel DEVULDER
Post by Zarake
2)f peut-elle être strictement croissante,
Oui si tu prends s=identité.
Oups je pense que tu ne veut pas parler de f croissante mais de la
suite u en fait? Ou même de toutes les suites u pour tous les u0
initiaux?

Il manque un éclaircissement car dans ta question initiale je ne voit
pas à quoi sert la suite vu que tes questions ne se posent que sur f.
Zarake
2017-06-23 05:56:41 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Samuel DEVULDER
On Thu, 22 Jun 2017 19:35:51 +0200, Samuel DEVULDER
Post by Samuel DEVULDER
Post by Zarake
2)f peut-elle être strictement croissante,
Oui si tu prends s=identité.
Oups je pense que tu ne veut pas parler de f croissante mais de la suite
u en fait? Ou même de toutes les suites u pour tous les u0 initiaux?>
Oui, toutes les suites pour tous les 8_0 initiaux appartenant à Z'
Post by Samuel DEVULDER
Il manque un éclaircissement car dans ta question initiale je ne voit
pas à quoi sert la suite vu que tes questions ne se posent que sur f.
Olivier Miakinen
2017-06-22 18:02:05 UTC
Permalink
Raw Message
Je soupçonne que le problème soit en effet mal posé, car le fait de
définir ou non une suite par récurrence n'a aucune influence sur le
reste.
Post by Zarake
On prend l'ensemble Z et on lui retire les multiples de 2 et de 3. On
obtient l'ensemble Z'
Ok.
Post by Zarake
1)A quelle condition peut-on définir une suite récurrente par
u_0
u_n+1 = f(u_n)
avec Z' stable par f ?
La seule condition est que Z' soit stable par f, c'est-à-dire que
toute image d'un élément de Z' soit aussi dans Z'.

Mais peut-être as-tu mal posé la question, et cherches-tu que
chaque élément de ta suite soit aussi dans Z' ? Quoique... cela
reste trivial si u_0 appartient à Z'.
Post by Zarake
2)f peut-elle être strictement croissante, ou admet-elle forcément un
point fixe ?
f peut être strictement croissante, strictement décroissante,
identiquement égale à 7, ou à peu près tout ce que tu veux,
pourvu que chaque image par f d'un élément de Z' appartienne
aussi à Z'.
Post by Zarake
Note : Il est possible que je me fasse des nœuds au cerveau :-)
Cela reste possible également, oui. ;-)
--
Olivier Miakinen
Olivier Miakinen
2017-06-22 18:11:31 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Olivier Miakinen
Post by Zarake
On prend l'ensemble Z et on lui retire les multiples de 2 et de 3. On
obtient l'ensemble Z'
Ok.
Post by Zarake
1)A quelle condition peut-on définir une suite récurrente par
u_0
u_n+1 = f(u_n)
avec Z' stable par f ?
La seule condition est que Z' soit stable par f, c'est-à-dire que
toute image d'un élément de Z' soit aussi dans Z'.
Mais peut-être as-tu mal posé la question, et cherches-tu que
chaque élément de ta suite soit aussi dans Z' ? Quoique... cela
reste trivial si u_0 appartient à Z'.
Post by Zarake
2)f peut-elle être strictement croissante, ou admet-elle forcément un
point fixe ?
Tiens, voici une famille infinie (f_k) de fonctions toutes strictement
croissantes et telles que Z' soit stable par chacune des f_k.

Pour tout k ∈ Z, on définit f_k de la façon suivante :
Pour tout x ∈ Z, f_k(x) = x + 6×k

La stabilité demande que f_k(Z') ⊂ Z', ce qui est évidemment le cas
puisque f_k(Z') = Z'.
--
Olivier Miakinen
Olivier Miakinen
2017-06-22 18:18:21 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Olivier Miakinen
Tiens, voici une famille infinie (f_k) de fonctions toutes strictement
croissantes et telles que Z' soit stable par chacune des f_k.
Pour tout x ∈ Z, f_k(x) = x + 6×k
En voici une autre.

0 si x = 0
f(x) = x + 6^x si x > 0
-f(-x) si x < 0
Post by Olivier Miakinen
La stabilité demande que f_k(Z') ⊂ Z', ce qui est évidemment le cas
puisque f_k(Z') = Z'.
Ici on a f(Z') ⊂ Z' mais f(Z') ≠ Z'
--
Olivier Miakinen
Loading...