Discussion:
Pour les diagonaliseurs de matrice du forum
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robby
2020-07-30 20:40:08 UTC
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Ah! enfin un problème intéressant.
qui relève plutôt de fr.sci.maths ( en copie ) que de fr.sci.physique
Considérons les matrices réelles rectangulaires M, et soit tM leur
transposée. Existe-t-il de telles matrices telles que les matrices carrées
tM M  et  M tM
soient simultanément diagonales? Si oui, comment les construire?
--
Fabrice
robby
2020-07-30 20:40:55 UTC
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Tu veux dire en dehors du cas où M est déjà une matrice carrée diagonale ?
le monsieur a dit "M rectangle" ( donc "diagonale" ne s'applique pas ).
--
Fabrice
Cl.Massé
2020-07-30 21:09:44 UTC
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Post by robby
Tu veux dire en dehors du cas où M est déjà une matrice carrée diagonale ?
le monsieur a dit "M rectangle" ( donc "diagonale" ne s'applique pas ).
Même carrée, elle n'est pas forcément diagonale. Exemple: une matrice
orthogonale.
Et donc, comment les construire?

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HB
2020-07-31 06:52:59 UTC
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Du coup, il me semble que la question serait plutôt :

Soit D une matrice carré diagonale
Peut-on trouver une matrice rectangulaire M telle que
tM M = D
et une matrice N rectangulaire telle que
N tN = D
et, si oui, comment construire M et N convenables ?

Mézalor,

Si D est un matrice p,p

M possède p colonnes et m lignes
N possède p lignes et n colonnes.

et m et n sont libres...

Le pb d'origine venant de la physique (tenseurs ?),
il y a peut-être d'autres contraintes pour m et n ...


HB
Cl.Massé
2020-07-31 09:41:31 UTC
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Post by HB
Soit D une matrice carré diagonale
Peut-on trouver une matrice rectangulaire M telle que
tM M = D
et une matrice N rectangulaire telle que
N tN = D
et, si oui, comment construire M et N convenables ?
Ben non, il faut M = N, c'est ce qui rend le problème un peu plus
intéressant.

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Olivier Miakinen
2020-07-31 11:41:37 UTC
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[suivi vers fr.sci.maths]
Post by Cl.Massé
Post by HB
Soit D une matrice carré diagonale
Peut-on trouver une matrice rectangulaire M telle que
tM M = D
et une matrice N rectangulaire telle que
N tN = D
et, si oui, comment construire M et N convenables ?
Ben non, il faut M = N, c'est ce qui rend le problème un peu plus
intéressant.
Disons que c'est un problème complètement différent. En effet, si M=N
est une matrice non carrée, alors on ne peut pas avoir à la fois
tM M = D et N tN = D puisque les deux résultats ont des dimensions
différentes.
robby
2020-07-31 14:53:59 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Disons que c'est un problème complètement différent. En effet, si M=N
est une matrice non carrée, alors on ne peut pas avoir à la fois
tM M = D et N tN = D puisque les deux résultats ont des dimensions
différentes.
je pense qu'il voulait surtout dire, tM.M diagonale et M.tM diagonale.
--
Fabrice
Olivier Miakinen
2020-07-31 15:00:07 UTC
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Post by robby
Post by Olivier Miakinen
Disons que c'est un problème complètement différent. En effet, si M=N
est une matrice non carrée, alors on ne peut pas avoir à la fois
tM M = D et N tN = D puisque les deux résultats ont des dimensions
différentes.
je pense qu'il voulait surtout dire, tM.M diagonale et M.tM diagonale.
Qui « il » ?
Cl. Massé : oui, absolument.
HB : Non, certainement pas.

C'est bien ce que je dis : HB semblait vouloir reformuler le problème,
mais en faisant ça il a posé en réalité un problème complètement
different.
Olivier Miakinen
2020-07-31 11:38:19 UTC
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[suivi dans fr.sci.maths]
Post by robby
Tu veux dire en dehors du cas où M est déjà une matrice carrée diagonale ?
le monsieur a dit "M rectangle" ( donc "diagonale" ne s'applique pas ).
J'avais cru à tort que le vocabulaire des matrices était le même
que celui de la géométrie, là où tout carré est aussi un rectangle.
robby
2020-07-31 14:53:08 UTC
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Post by Olivier Miakinen
[suivi dans fr.sci.maths]
Post by robby
Tu veux dire en dehors du cas où M est déjà une matrice carrée diagonale ?
le monsieur a dit "M rectangle" ( donc "diagonale" ne s'applique pas ).
J'avais cru à tort que le vocabulaire des matrices était le même
que celui de la géométrie, là où tout carré est aussi un rectangle.
comme en géométrie, l'inverse n'est pas vrai, le carré n'est qu'un cas
particulier, en pratique peu intéressant. donc quand on dit rectangle,
c'est non trivial: ni 1x1, ni 0x0 ;-)
--
Fabrice
Olivier Miakinen
2020-07-31 14:56:46 UTC
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Post by robby
Post by Olivier Miakinen
J'avais cru à tort que le vocabulaire des matrices était le même
que celui de la géométrie, là où tout carré est aussi un rectangle.
comme en géométrie, l'inverse n'est pas vrai, le carré n'est qu'un cas
particulier, en pratique peu intéressant. donc quand on dit rectangle,
c'est non trivial: ni 1x1, ni 0x0 ;-)
On n'aurait donc pas le droit de dire qu'un carré est un rectangle dont
tous les côtés ont la même longueur, ni que c'est un losange dont tous
les angles sont droits ?
Jo Engo
2020-08-01 09:47:18 UTC
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Post by Olivier Miakinen
On n'aurait donc pas le droit de dire qu'un carré est un rectangle dont
tous les côtés ont la même longueur,
Voyons : 2 adjacents suffisent à montrer.
Post by Olivier Miakinen
ni que c'est un losange dont tous
les angles sont droits ?
Voyons 1 suffit à montrer
--
L'appétit vient en mangeant.
-+- François Rabelais (1494?-1553), Gargantua (chap. 5) -+-
Olivier Miakinen
2020-07-31 11:51:56 UTC
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[copie et suivi vers fr.sci.maths]
Ah! enfin un problème intéressant.
Considérons les matrices réelles rectangulaires M, et soit tM leur
transposée. Existe-t-il de telles matrices telles que les matrices carrées
tM M et M tM
soient simultanément diagonales? Si oui, comment les construire?
J'ai compris après coup que « rectangulaires » signifiait « non
carrées ».

Je me permets d'ajouter comme contrainte qu'aucun élément des deux
diagonales obtenues ne doit être nul, sinon il est trop facile de
construire de telles matrices. Avec cette contrainte supplémentaire,
il est facile de démontrer qu'aucune matrice ligne ou colonne ne
convient.

Au passage, je viens de découvrir un résultat que j'ai trouvé
contre-intuitif, à savoir que l'on n'a pas forcément :
det(M×tM) = det(tM×M)
alors que pour des matrices carrées on a toujours :
det(A×B) = det(B×A) (aussi bien pour B = tA que pour B ≠ tA)
serge bouc
2020-07-31 18:01:52 UTC
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Post by Olivier Miakinen
[copie et suivi vers fr.sci.maths]
Ah! enfin un problème intéressant.
Considérons les matrices réelles rectangulaires M, et soit tM leur
transposée. Existe-t-il de telles matrices telles que les matrices carrées
tM M et M tM
soient simultanément diagonales? Si oui, comment les construire?
J'ai compris après coup que « rectangulaires » signifiait « non
carrées ».
Je me permets d'ajouter comme contrainte qu'aucun élément des deux
diagonales obtenues ne doit être nul, sinon il est trop facile de
construire de telles matrices. Avec cette contrainte supplémentaire,
il est facile de démontrer qu'aucune matrice ligne ou colonne ne
convient.
... et plus généralement, qu'aucune matrice non-carrée ne convient : si
M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible, donc carrée...
Olivier Miakinen
2020-08-02 05:32:10 UTC
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Bonjour,
si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible, donc carrée...
Tu pourrais développer ? J'ai bien un début de raisonnement mais je ne sais
pas finir.


Soit M une matrice m×n

1) Si M tM est inversible, alors M (tM (M tM)^-1) = Im
2) Si tM M est inversible, alors ((tM M)^-1 tM) M = In

Il existe donc des matrices A et B telles que M A = Im et B M = In, mais
ensuite comment conclure ?
--
Olivier Miakinen
serge bouc
2020-08-02 06:01:20 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Bonjour,
si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible, donc carrée...
Tu pourrais développer ? J'ai bien un début de raisonnement mais je ne sais
pas finir.
Soit M une matrice m×n
1) Si M tM est inversible, alors M (tM (M tM)^-1) = Im
2) Si tM M est inversible, alors ((tM M)^-1 tM) M = In
Il existe donc des matrices A et B telles que M A = Im et B M = In, mais
ensuite comment conclure ?
Bonjour,

Ensuite B=B(MA)=(BM)A=A.

Une autre façon de voir la chose est de considérer le rang des matrices
tM M et M tM,
qui est au plus égal au rang de la plus petite (en taille) des deux. Si
M est vraiment
rectangulaire, seule la plus petite de ces deux matrices peut être
inversible.

Serge.
Olivier Miakinen
2020-08-02 07:45:49 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by Olivier Miakinen
si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible, donc carrée...
Tu pourrais développer ? J'ai bien un début de raisonnement mais je ne sais
pas finir.
Soit M une matrice m×n
1) Si M tM est inversible, alors M (tM (M tM)^-1) = Im
2) Si tM M est inversible, alors ((tM M)^-1 tM) M = In
Il existe donc des matrices A et B telles que M A = Im et B M = In, mais
ensuite comment conclure ?
Bonjour,
Ensuite B=B(MA)=(BM)A=A.
Ok pour la preuve que si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible.
À partir de là, je devrais pouvoir trouver sur la toile des cours sur les
matrices qui montrent que M est carrée.
Post by Olivier Miakinen
Une autre façon de voir la chose est de considérer le rang des matrices
tM M et M tM,
qui est au plus égal au rang de la plus petite (en taille) des deux. Si
M est vraiment
rectangulaire, seule la plus petite de ces deux matrices peut être
inversible.
Ok. Tout ceci est très vieux dans ma mémoire (le rang d'une matrice), mais je
pense pouvoir y arriver. Merci !
--
Olivier Miakinen
HB
2020-08-02 08:10:18 UTC
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Le 02/08/2020 à 09:45, Olivier Miakinen a écrit :
(...)
Post by Olivier Miakinen
Ok pour la preuve que si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible.
À partir de là, je devrais pouvoir trouver sur la toile des cours sur les
matrices qui montrent que M est carrée.
Euh ... je ne vois pas comment on pourrait utiliser le qualificatif
"inversible" pour une matrice non-carrée.

HB
Olivier Miakinen
2020-08-02 09:01:25 UTC
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Post by HB
Post by Olivier Miakinen
Ok pour la preuve que si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible.
À partir de là, je devrais pouvoir trouver sur la toile des cours sur les
matrices qui montrent que M est carrée.
Euh ... je ne vois pas comment on pourrait utiliser le qualificatif
"inversible" pour une matrice non-carrée.
Parce que tu dois avoir une connaissance plus intime des matrices que je
n'en ai moi-même.

Pour le moment, je suis arrivé à me convaincre qu'il existe une matrice
que l'on peut noter M⁻¹ telle que M × M⁻¹ = Im et M⁻¹ × M = In, où Im
et In sont respectivement les matrices identité m×m et n×n. On pourrait
appeler cette matrice l'inverse de M, et M serait donc inversible dans
ce sens-là.

Que cela implique que m = n est sans doute quelque chose qui se prouve,
mais pour moi qui ai quitté l'école il y a plus de 30 ans ces souvenirs
sont un peu lointains.
--
Olivier Miakinen
serge bouc
2020-08-02 10:03:31 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by HB
Post by Olivier Miakinen
Ok pour la preuve que si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible.
À partir de là, je devrais pouvoir trouver sur la toile des cours sur les
matrices qui montrent que M est carrée.
Euh ... je ne vois pas comment on pourrait utiliser le qualificatif
"inversible" pour une matrice non-carrée.
Parce que tu dois avoir une connaissance plus intime des matrices que je
n'en ai moi-même.
Pour le moment, je suis arrivé à me convaincre qu'il existe une matrice
que l'on peut noter M⁻¹ telle que M × M⁻¹ = Im et M⁻¹ × M = In, où Im
et In sont respectivement les matrices identité m×m et n×n. On pourrait
appeler cette matrice l'inverse de M, et M serait donc inversible dans
ce sens-là.
Que cela implique que m = n est sans doute quelque chose qui se prouve,
mais pour moi qui ai quitté l'école il y a plus de 30 ans ces souvenirs
sont un peu lointains.
En termes plus abstraits (ce qui aide, en l'occurrence), l'application
linéaire
représentée par M est un isomorphisme d'espaces vectoriels, donc ces espaces
ont la même dimension.
HB
2020-08-02 10:06:48 UTC
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Post by Olivier Miakinen
Post by HB
Post by Olivier Miakinen
Ok pour la preuve que si M tM et tM M sont inversibles, alors M est inversible.
À partir de là, je devrais pouvoir trouver sur la toile des cours sur les
matrices qui montrent que M est carrée.
Euh ... je ne vois pas comment on pourrait utiliser le qualificatif
"inversible" pour une matrice non-carrée.
Parce que tu dois avoir une connaissance plus intime des matrices que je
n'en ai moi-même.
De mon point de vue, il suffit de songer à
l'endomorphisme F associé à la matrice M.
On se heurte à un pb avec les dimensions.
(Ker(F), Im(F), ...)

On peut aussi imaginer le système linéaire associé à M.
- Le n-uplet solution est obtenu avec l'inverse de M.
- Pour obtenir l'indépendance linéaire,
le nb de contraintes ne peut excéder le nb d'inconnues,
sinon, il n'y a pas de solution...


Par ailleurs, mes études sont loin, certes, mais je n'ai jamais vu
de définition du qualificatif inversible pour des matrices non-carrées.
Cela existe peut-être, les matheux aime bien
"étendre" le sens des mots vers des cas de plus en plus généraux
mais,
dans cette situation,
cela me semble a priori plutôt bizarre comme "extension de sens".

HB
Olivier Miakinen
2020-08-03 09:14:11 UTC
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Post by HB
[...] tu dois avoir une connaissance plus intime des matrices que je
n'en ai moi-même.
De mon point de vue, il suffit de songer à
l'endomorphisme F associé à la matrice M.
Ça se confirme. ;-)
Post by HB
[...]
Par ailleurs, mes études sont loin, certes, mais je n'ai jamais vu
de définition du qualificatif inversible pour des matrices non-carrées.
Tu as comme avantage sur moi de te rappeler cela.

MAIxxxx
2020-07-31 13:31:24 UTC
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Post by robby
Ah! enfin un problème intéressant.
qui relève plutôt de fr.sci.maths ( en copie ) que de fr.sci.physique
Considérons les matrices réelles rectangulaires M, et soit tM leur
transposée. Existe-t-il de telles matrices telles que les matrices carrées
tM M  et  M tM
soient simultanément diagonales? Si oui, comment les construire?
Noter déjà que si M n'est pas carrée tM.M et M.tM sont bien carrées mais n'ont pas la même dimension et donc pas le
même nombre de valeurs propres

De plus tM.M et M.tM sont symétriques
Ça simplifie bien la diagonalisation.
Prenez une matrice 3X2 on aura seulement quatre équations quadratiques pour 6 coefficients pour avoir les deux matrices
produit diagonales.
Si la matrice M est
(a,b,c)
(d,e,f) les
produits sont
(a²+b²+c² ad+be+cf)
(da+eb+fc d²+e²+f²)

(a²+d² ab+de ac+df)
(ba+de b²+e² bc+ef)
(ca+fd cb+fe c²+f²)

pour avoir des matrices diagonales,
ad+be+cf = 0 ab+de=0 ac+df=0 bc+ef=0
On peut fixer deux paramètres, les quatre autres sont alors déterminés.

Si M est une matrice pXq les équations correspondantes sont
au nombre de (p²-p)/2 et (q²-q)/2 pour pq coefficients
Pour que qu'il y ait une solution non triviale il faut que
(p²+q² -p-q)< 2pq ou p²-2pq +q² < p+q ou (p-q)²< p+q
Cette condition n'est pas toujours réalisée par exemple p=5 q=2 p-q=3 et p+q=7 3²>7 alors que p=5 q=3 2²<8 c'est possible.

J'espère ne pas m'être trompé.
--
Quand on veut tuer son chien ces temps-ci, on dit qu'il est impair.
Olivier Miakinen
2020-07-31 14:16:53 UTC
Réponse
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[Attention : publication dans trois groupes, suivi vers fr.usenet.usages]
Newsgroups: fr.sci.maths
Followup-To: fr.sci.physique
Horreur ! Ça veut dire qu'à moins de faire attention (moi je l'ai vu
par hasard), quelqu'un qui ne lirait que fr.sci.maths serait incapable
de te répondre parce que toutes ses réponses iraient dans le groupe de
physique. Au pire, il répondrait plusieurs fois, polluant d'autant plus
fr.rec.physique.

Et ça veut dire que quelqu'un qui ne lirait que fr.sci.physique verrait
apparaître des réponses sans savoir à quoi elles répondent.

Ajoutons à ça le fait que tu n'as même pas annoncé le suivi, ce qui
est la moindre des politesses (comme je l'ai fait en 1re ligne de ma
réponse).
[...]
J'espère ne pas m'être trompé.
Tu t'es au moins trompé sur ça...
--
Olivier Miakinen
Cl.Massé
2020-07-31 21:11:00 UTC
Réponse
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Post by robby
Ah! enfin un problème intéressant.
qui relève plutôt de fr.sci.maths ( en copie ) que de fr.sci.physique
Considérons les matrices réelles rectangulaires M, et soit tM leur
transposée. Existe-t-il de telles matrices telles que les matrices carrées
tM M et M tM
soient simultanément diagonales? Si oui, comment les construire?
On observe d'abord que les matrices tM M et M tM sont symétriques pour tout
M, on peut donc appliquer le théorème spectral. Selon ce théorème, il existe
des matrices orthogonales S et T telles que

T tM M tT et S M tM tS

soient diagonales. On définit alors la matrice

M' = S M tT

qui a la propriété cherchée. On part donc d'une matrice quelconque M, on
choisit S et T comme précédemment, et on en déduit M'.

C'était vraiment très intéressant.

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