Compatibilité entre une topologie et une structure d'espace vectoriel

[ast]

Bonjour

En lisant la page wikipédia "Espace de Banach" ici:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Banach

je suis tombé sur cette affirmation:

"Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa
structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique"

Un espace de Banach est normé, donc on a une distance, donc on peut
définir les ouverts, donc on a bien un espace topologique.

Mais que signifie que cette topologie est compatible avec la structure
d'espace vectoriel ?

[efji]

Post by ast
Bonjour
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Banach
"Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa
structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique"
Un espace de Banach est normé, donc on a une distance, donc on peut
définir les ouverts, donc on a bien un espace topologique.
Mais que signifie que cette topologie est compatible avec la structure
d'espace vectoriel ?

La distance doit vérifier ces deux propriétés pour que ce soit un ev
topologique :

* somme de 2 vecteurs = application continue (pour la distance en question)
* produit d'un vecteur par un scalaire = application continue.

Si la distance est induite par une norme c'est clairement le cas.

[ast]

Post by efji

Post by ast
Bonjour
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Banach
"Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa
structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique"
Un espace de Banach est normé, donc on a une distance, donc on peut
définir les ouverts, donc on a bien un espace topologique.
Mais que signifie que cette topologie est compatible avec la structure
d'espace vectoriel ?

La distance doit vérifier ces deux propriétés pour que ce soit un ev
* somme de 2 vecteurs =  application continue (pour la distance en
question)
* produit d'un vecteur par un scalaire =  application continue.
Si la distance est induite par une norme c'est clairement le cas.

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