demi-cercle centre de gravité

[pierre.malartic]

Bonjour,

Soit C un demi-cerclce de diametre [AB], de centre O , de centre de gravité
G, de rayon R
Le calcul de d=OG/R se fait par la formule liant le volume à la section
l'ayant engendrée.

d=4/3pi

L'idée que toute droite passant par G coupait le demi-disque en 2 parties de
même aire me semblait vraie. Pour verifier cela, la droite (AG) coupant le
demi-cercle en M devrait satisfaire la condition.

La surface délimitée par {AMB} se décompose :
-en S1, un triangle isocèle en O, d'angle OÂG =a
-en S2, un secteur circulaire d'angle au centre 2a

S1=R² sin a cos a
S2 = a R²
avec tan a = d

Aire=s1 + S2
=R²( d/(1+d²)+Atn(d))
le calcul me donne :

Aire/R² = 0,79
ce qui différe du pi/4(=0.78 ) attendu !

Est-ce normal ?

Cordialement

[Valeri Astanoff]

Post by pierre.malartic
Bonjour,
Soit C un demi-cerclce de diametre [AB], de centre O , de centre de gravité
G, de rayon R
Le calcul de d=OG/R se fait par la formule liant le volume à la section
l'ayant engendrée.
d=4/3pi
L'idée que toute droite passant par G coupait le demi-disque en 2 parties de
même aire me semblait vraie. Pour verifier cela, la droite (AG) coupant le
demi-cercle en M devrait satisfaire la condition.
-en S1, un triangle isocèle en O, d'angle OÂG  =a
-en S2, un secteur circulaire d'angle au centre 2a
S1=R² sin a cos a
S2 = a R²
avec tan a = d
Aire=s1 + S2
  =R²( d/(1+d²)+Atn(d))
Aire/R² = 0,79
ce qui différe du pi/4(=0.78 ) attendu !
Est-ce normal ?
Cordialement

Bonjour,

Votre idée n'est vraie que si la figure présente
une symétrie centrale ou si la droite sécante
est un axe de symétrie.
Si ce n'est pas le cas, il n'y a pas de raison
que les deux aires soient égales...
En particulier pour le demi-cercle, si la sécante
est "horizontale", l'écart est maximum (0,74819...
pour l'aire supérieure au lieu de pi/4)

Cordialement,

V.Astanoff

[Philippe 92]

Post by Valeri Astanoff

Post by pierre.malartic
Bonjour,
Soit ... de centre de gravité G ...
L'idée que toute droite passant par G coupait le demi-disque en 2
parties de même aire me semblait vraie.
...ce qui différe du pi/4(=0.78 ) attendu !
Est-ce normal ?

Votre idée n'est vraie que si la figure présente
^^^^^^ ??
une symétrie centrale ou si la droite sécante
est un axe de symétrie.
Si ce n'est pas le cas, il n'y a pas de raison
que les deux aires soient égales...

Par contre il y a des cas (tordus) où sans symétrie du tout, toute
droite passant par le centre de gravité coupe la surface en 2 parties
d'aires égales.

Une discussion il y quelque temps (2004!) sur ce sujet avait eu
lieu sur de.sci.mathematik.
Subject: Schwerpunkt und Flaecheninhalt
Message-ID:
<Pine.LNX.4.44.0411011801490.18443-***@pcpool07.mathematik.uni-freiburg.de>
La partie intéressante (surfaces asymétriques) commence là :

Message-ID: <***@pisano.math.ethz.ch>

Il s'agit de trouver une surface connexe (d'un seul tenant) mais non
convexe (avec des trous) ayant cette propriété, et sans symétries.

Par exemple celle là (la figure est encore disponible !)
<Loading Image...>
ou
<http://home.arcor.de/herovanjindelt/Mondsichelring.bmp>

Amicalement.

[Etienne Rousee]

"Valeri Astanoff" <***@gmail.com> a écrit...
On 28 mai, 09:32, "pierre.malartic" <***@wanadoo.fr>...

Bonjour,

Post by Valeri Astanoff
Votre idée n'est vraie que si la figure présente
une symétrie centrale ou si la droite sécante
est un axe de symétrie.
Si ce n'est pas le cas, il n'y a pas de raison
que les deux aires soient égales...

On peut alors poser la question : quel est l'enveloppe
des droites coupant le demi-disque en deux parties
d'aires égales. Comme l'axe de symétrie passe par G,
ça fait une de ces droites qui passe par G. Il me semble
alors que G doit être sur l'enveloppe, mais je n'en
suis pas sûr.

[Philippe 92]

Post by Etienne Rousee

...

On peut alors poser la question : quel est l'enveloppe
des droites coupant le demi-disque en deux parties
d'aires égales. Comme l'axe de symétrie passe par G,
ça fait une de ces droites qui passe par G. Il me semble
alors que G doit être sur l'enveloppe, mais je n'en
suis pas sûr.

Il faut considérer deux cas, et donc l'enveloppe est formée
de deux morceaux de courbes.

1er cas :
La droite coupe le diamètre en N et le 1/2 cercle en M
soit x = angle de M, et y = ON
alors y = R*(pi/2 - x)/sin(x)

Ce 1er cas se termine quand y = R, c'est à dire
x + sin(x) = pi/2 soit x = 0.83171...

2ème cas :
La droite coupe exclusivement le 1/2 cercle en M et N
alors la distance de O à MN est constante et l'enveloppe
des droites MN est un (arc de) cercle.

L'enveloppe est donc formée du triangle curviligne ABC
<http://cjoint.com/?fCpB1jPXqu>

On "voit" qu'il y a trois cas où la droite coupe le
1/2 cercle en deux et passe par G
x = pi/2 et deux valeurs du cas 2 que j'ai la flemme de
calculer.
Et on voit aussi que G n'est pas sur l'enveloppe.