Qu'est-ce qu'une fonction monotone ?

[Michel]

Bonjour,

Afin d'implémenter un algorithme de calculs par dichotomie,
je souhaiterais savoir ce qu'est une fonction monotone.
Ci dessous une définition trouvée sur le web :

"Une fonction monotone est, sur un intervalle, soit strictement
croissante, soit strictement constante, soit strictement décroissante,
c'est à dire que sa dérivée ne change pas de signe sur cet intervalle"
Est-ce rigoureusement exact?

D'autre part, si une fonction n'est pas monotone, elle peut être quoi
d'autre??
Merci d'avance.
Michel, qui n'a plus fait de maths depuis longtemps

[pulse]

Post by Michel
"Une fonction monotone est, sur un intervalle, soit strictement
croissante, soit strictement constante, soit strictement décroissante,
c'est à dire que sa dérivée ne change pas de signe sur cet intervalle"
Est-ce rigoureusement exact?

Je sais plus trop si elle doit être strictement (dé)croissant ou bien
(dé)croissante seulement; en tout cas dire que la dérivée ne change pas de
signe, c'est pas équivalent à ce qui est au dessus. Je sais pas si le "c'est
à dire" implicitait ou pas une équivalence.

[FDH]

Post by Michel
"Une fonction monotone est, sur un intervalle, soit strictement
croissante, soit strictement constante, soit strictement décroissante,
c'est à dire que sa dérivée ne change pas de signe sur cet intervalle"
Est-ce rigoureusement exact?

En français, cette définition est fausse (en plus, "strictement constante",
ça ne veut "strictement" rien dire en français !!. Une fonction est
constante ou ne l'est pas, point)

Je parie que ça vient d'un livre anglo-saxon mal traduit en français

En français, monotone sur un intervalle I signifie "soit croissante sur I,
soit décroissante sur I", c'est à dire dont la dérivée garde un signe
constant (au sens large)
strictement monotone sur I signifie "soit strictement croissante sur I, soit
strictement décroissante sur I"

[J.A.]

Post by FDH
En français, cette définition est fausse (en plus, "strictement constante",
ça ne veut "strictement" rien dire en français !!. Une fonction est
constante ou ne l'est pas, point)
Je parie que ça vient d'un livre anglo-saxon mal traduit en français

Ca doit etre encore plus tordu que ca, puisqu'en anglais, on est plus rigide
qu'en francais: il en va de la monotonie comme de la positivite (ou la
negativite), le terme "strict" (strictly increasing, strictly positive,
etc.) n'est en general utilise que par les francais qui font des maths en
anglais. Un matheux anglophone dit nonnegative pour positf, positive pour
strictement positif, nondecreasing pour monotone croissante et monotone
increasing pour strictement croissante.

[Nicolas Le Roux]

Le Wed, 26 Nov 2003 00:39:08 +0100,

Post by FDH
En français, monotone sur un intervalle I signifie "soit croissante sur I,
soit décroissante sur I", c'est à dire dont la dérivée garde un signe
constant (au sens large)

Simple précision: elle peut être monotone sans être dérivable (ni même
continue).

[FDH]

Post by Michel
D'autre part, si une fonction n'est pas monotone, elle peut être quoi
d'autre??

Il y a d'abord les fonctions qui sont croissantes sur un intervalle puis
décroissantes aprèe : de telles fonctions ne sont pas monotones
"globalement", mais on peut décomposer leur ensemble de définition en une
réunion finie d'intervalles, sur lesquels elles sont monotones (c'est le cas
pour la plupart des fonctions usuelles "sympathiques")

Mais il existe aussi des fonctions "pathologiques" qui ne sont monotones sur
aucun voisinage d'un point donné :

Un exemple de fonction non monotone au voisinage de 0 :
f(x)=sin(1/x) si x<>0, et f(0)=0

f oscille de plus en plus vite autour de 0, donc f n'est monotone sur aucun
voisinage de 0
Essaye de représenter cette fonction sur une calculatrice graphique, et tu
verras.

Cependant cette fonction f n'est pas continue en 0.

Mais on peut construire des fonctions continues sur R (et même dérivables),
qui ne sont monotones sur aucun voisinage de 0

Exemple : f(x)=x.sin(1/x) si x<>0, et f(0)=0
Cette fonction oscille encore autour de 0, mais les amplitudes tendent vers
0 en 0, donc f est continue en 0, mais f n'est monotone sur aucun voisinage
de 0

[Horst Kraemer]

Post by FDH

Post by Michel
D'autre part, si une fonction n'est pas monotone, elle peut être quoi
d'autre??

Il y a d'abord les fonctions qui sont croissantes sur un intervalle puis
décroissantes aprèe : de telles fonctions ne sont pas monotones
"globalement", mais on peut décomposer leur ensemble de définition en une
réunion finie d'intervalles, sur lesquels elles sont monotones (c'est le cas
pour la plupart des fonctions usuelles "sympathiques")
Mais il existe aussi des fonctions "pathologiques" qui ne sont monotones sur
f(x)=sin(1/x) si x<>0, et f(0)=0
f oscille de plus en plus vite autour de 0, donc f n'est monotone sur aucun
voisinage de 0
Essaye de représenter cette fonction sur une calculatrice graphique, et tu
verras.
Cependant cette fonction f n'est pas continue en 0.
Mais on peut construire des fonctions continues sur R (et même dérivables),
qui ne sont monotones sur aucun voisinage de 0
Exemple : f(x)=x.sin(1/x) si x<>0, et f(0)=0
Cette fonction oscille encore autour de 0, mais les amplitudes tendent vers
0 en 0, donc f est continue en 0, mais f n'est monotone sur aucun voisinage
de 0

Et f(0)=0, f(x)=x^2*sin(1/x) est dérivable partout mais elle n'est
monotone dans aucun voisinage de 0. Elle oscille entre g(x)=0 et
h(x)=x^2.

[Trident]

Définition trouvé dans le Liret-Martinais (comme ca je suis sur de pas me
planter) :

Soir f: U->R une fonction et soit V une partie non vide de U. On dit que :

-f est croissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x >= y => f(x) >= f(y)
-f est strictement croissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x > y => f(x) > f(y)
-f est décroissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x >= y => f(x) =< f(y)
-f est strictement décroissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x > y => f(x) < f(y)


On dit que f est monotone sur V si f est croissante ou décroissante.
On dit que f est strictement monotone sur V si f est strictement croissante
ou strictement décroissante.

fin de copier coller.

Attention qd même à l'utilisation de la dérivée, pour que ca marche faut que
ta fonction soit continue.
Par exemple x |-> 1/x sur [-1;1] \ {0}a une dérivée négative (-1/x²) mais
n'est pas décroissante, -1/2 < 1/2 et f(-1/2) < f(1/2)
Enfin, oui je sais elle est pas dérivable en 0 et si on dit dérivée négative
on implique dérivable donc continu, mais enfin, comme ca c'est sur, tu feras
pas une bourde.


vàlà.
Trident.

[Trident]

Définition trouvé dans le Liret-Martinais (comme ca je suis sur de pas me
planter) :

Soir f: U->R une fonction et soit V une partie non vide de U. On dit que :

-f est croissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x >= y => f(x) >= f(y)
-f est strictement croissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x > y => f(x) > f(y)
-f est décroissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x >= y => f(x) =< f(y)
-f est strictement décroissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x > y => f(x) < f(y)


On dit que f est monotone sur V si f est croissante ou décroissante.
On dit que f est strictement monotone sur V si f est strictement croissante
ou strictement décroissante.

fin de copier coller.

Attention qd même à l'utilisation de la dérivée, pour que ca marche faut que
ta fonction soit continue.
Par exemple x |-> 1/x sur [-1;1] \ {0}a une dérivée négative (-1/x²) mais
n'est pas décroissante, -1/2 < 1/2 et f(-1/2) < f(1/2)
Enfin, oui je sais elle est pas dérivable en 0 et si on dit dérivée négative
on implique dérivable donc continu, mais enfin, comme ca c'est sur, tu feras
pas une bourde.


vàlà.
Trident.

P.S. C'est quoi une partie ? c'est un interval ou ca peut étre une réunion
d'interval disjoint ?

[Maxi]

Post by Trident
Attention qd même à l'utilisation de la dérivée, pour que ca marche faut que
ta fonction soit continue.
Par exemple x |-> 1/x sur [-1;1] \ {0}a une dérivée négative (-1/x²) mais
n'est pas décroissante, -1/2 < 1/2 et f(-1/2) < f(1/2)
Enfin, oui je sais elle est pas dérivable en 0 et si on dit dérivée négative
on implique dérivable donc continu, mais enfin, comme ca c'est sur, tu feras
pas une bourde.

Elle n'a pas à être dérivable ou non en 0... Elle n'y est pas définie!
Ta fonction est définie et dérivable sur un ouvert de R, sa dérivée y est
strictement négative, donc elle est strictement décroissante sur chaque
composante connexe mais pas sur l'ensemble, il n'y a pas de problème.

Post by Trident
P.S. C'est quoi une partie ? c'est un interval ou ca peut étre une réunion
d'interval disjoint ?

Une partie c'est un sous-ensemble.

[Trident]

Définition trouvé dans le Liret-Martinais (comme ca je suis sur de pas me
planter) :

Soir f: U->R une fonction et soit V une partie non vide de U. On dit que :

-f est croissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x >= y => f(x) >= f(y)
-f est strictement croissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x > y => f(x) > f(y)
-f est décroissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x >= y => f(x) =< f(y)
-f est strictement décroissante sur V si pour tout x et y dans V on a :
x > y => f(x) < f(y)


On dit que f est monotone sur V si f est croissante ou décroissante.
On dit que f est strictement monotone sur V si f est strictement croissante
ou strictement décroissante.

fin de copier coller.

Attention qd même à l'utilisation de la dérivée, pour que ca marche faut que
ta fonction soit continue.
Par exemple x |-> 1/x sur [-1;1] \ {0}a une dérivée négative (-1/x²) mais
n'est pas décroissante, -1/2 < 1/2 et f(-1/2) < f(1/2)
Enfin, oui je sais elle est pas dérivable en 0 et si on dit dérivée négative
on implique dérivable donc continu, mais enfin, comme ca c'est sur, tu feras
pas une bourde.


vàlà.
Trident.

P.S. C'est quoi une partie ? c'est un interval ou ca peut étre une réunion
d'interval disjoint ?