a^x + b^x + c = 0

[Julien Arlandis]

Bonjour,

Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
d'équations :
a^x + b^x + c = 0

[efji]

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

[efji]

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

Sauf cas particuliers :)
Par exemple a=1 ou a=0 ou c=0 etc.

[Julien Arlandis]

Post by efji

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

Sauf cas particuliers :)
Par exemple a=1 ou a=0 ou c=0 etc.

Seconde question : comment savez vous que la méthode n'existe pas ?
-elle n'a pas encore été trouvée ?
-il a été démontré qu'une telle méthode ne peut exister ?
-existe t-il à l'image de la classification des espèces, une
classification des équations solvables et non solvables ?

[Julien Arlandis]

Post by efji

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

Sauf cas particuliers :)
Par exemple a=1 ou a=0 ou c=0 etc.

Seconde question : comment savez vous que la méthode n'existe pas ?
-elle n'a pas encore été trouvée ?
-il a été démontré qu'une telle méthode ne peut exister ?
-existe t-il à l'image de la classification des espèces, une
classification des équations résolubles ou non ?

[efji]

Post by Julien Arlandis

Post by efji

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

Sauf cas particuliers :)
Par exemple a=1 ou a=0 ou c=0 etc.

Seconde question : comment savez vous que la méthode n'existe pas ?
-elle n'a pas encore été trouvée ?
-il a été démontré qu'une telle méthode ne peut exister ?
-existe t-il à l'image de la classification des espèces, une
classification des équations résolubles ou non ?

Disons que les équations qu'on peut résoudre analytiquement, avec des
formules algébriques, se comptent sur les doigts de la main.

[Python]

Post by efji

Post by Julien Arlandis

Post by efji

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

Sauf cas particuliers :)
Par exemple a=1 ou a=0 ou c=0 etc.

Seconde question : comment savez vous que la méthode n'existe pas ?
-elle n'a pas encore été trouvée ?
-il a été démontré qu'une telle méthode ne peut exister ?
-existe t-il à l'image de la classification des espèces, une
classification des équations résolubles ou non ?

Disons que les équations qu'on peut résoudre analytiquement, avec des
formules algébriques, se comptent sur les doigts de la main.

Ce qui n'est pas vraiment un argument pour une équation donnée. En
mathématique il n'y a que les preuves qui vaillent.

[efji]

Post by Python

Post by efji

Post by Julien Arlandis

Post by efji

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

non

Sauf cas particuliers :)
Par exemple a=1 ou a=0 ou c=0 etc.

Seconde question : comment savez vous que la méthode n'existe pas ?
-elle n'a pas encore été trouvée ?
-il a été démontré qu'une telle méthode ne peut exister ?
-existe t-il à l'image de la classification des espèces, une
classification des équations résolubles ou non ?

Disons que les équations qu'on peut résoudre analytiquement, avec des
formules algébriques, se comptent sur les doigts de la main.

Ce qui n'est pas vraiment un argument pour une équation donnée. En
mathématique il n'y a que les preuves qui vaillent.

En effet. On a la preuve de la non existence de formules pour les
racines d'un polynôme de degré supérieur à 5, mais sinon c'est assez rare.

[Michel Talon]

Post by Julien Arlandis
Seconde question : comment savez vous que la méthode n'existe pas ?
-elle n'a pas encore été trouvée ?
-il a été démontré qu'une telle méthode ne peut exister ?
-existe t-il à l'image de la classification des espèces, une
classification des équations résolubles ou non ?

Il existe une méthode pour classifier l'existence d'une solution
par radicaux d'une équation *polynomiale*, c'est la théorie de
Galois. Ca repose sur l'existence ou non de quantités
invariantes (*) par certaines permutations des racines. La
conclusion est que l'équation *générale* de degré 5 ou plus n'est
pas soluble par radicaux, mais des équations particulières
peuvent l'être. Pour des équations non polynomiales, il n'y a
pas de tels théorèmes (**) et la solution éventuelle est une question
d'art. Donc en pratique on recourt à des méthodes
d'approximation.

(*) Pour donner un exemple pour l'équation de degré 4 qui a 4
racines x1,x2,x3,x4 on peut former les quantités I1=x1*x2+x3*x4,
I2=x1*x3+x2*x4, I3=x1*x4+x2*x3 et on voit que sous le groupe à 24
éléments des permutations des xi, ces 3 quantités s'échangent
entre elles. Notant (12) la permutation de x1 et x2, etc. les
permutations paires t1=(12)(34), t2=(13)(24),t3=(14)(23), produits
de 2 transpositions, et on a: t2 t3 = t1, etc. Ainsi {1,t1,t2,t3}
forme un groupe a 4 éléments, le groupe de Klein
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Klein
Ce groupe est distingué dans S4 car ses éléments sont produits de
deux transpositions disjointes, ce qui est invariant par
renumérotation. Le quotient de S4 par lui est donc un groupe d'ordre 6.
D'autre part on vérifie que t1,t2,t3 fixent chacune des quantités
I1,I2,I3 et donc fixent point par point tout le corps K généré par I1,I2,I3.
Comme I1, I2, I3 satisfont à l'équation de degré 3
(x-I1)(x-I2)(x-I3) complètement symétrique et donc à coefficients
expressibles sur les coeffs du polynôme, on voit que K est de dimension 6
sur le corps de base ce qui est une illustration de la correspondance de
Galois.
En pratique, I1,I2,I3 sont obtenus en résolvant une équation de degré 3
la "résolvante cubique" puis les 4 solutions x1,x2,x3,x4 sont obtenues en
adjoignant la racine carrée du discriminant [(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x2-x3)
(x2-x4)(x3-x4)]^2
(encore une quantité qui s'exprime sur les coeffs du polynôme). Cette
adjonction
correspond au passage du groupe S4 au groupe alterné A4.

(**) Je pense qu'il est clair que les raisonnements ci-dessus n'ont pas
vocation à s'appliquer dans un cas non polynomial.

[robby]

Post by Julien Arlandis
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

A defaut tu peux le plotter dans DesmosGraph, qui accepte désormais les
complexes.

En passant, il a l'un des plus puissants moteurs de fitting
non-linéaire; ça peut servir ;-)

[Julien Arlandis]

Post by robby

Post by Julien Arlandis
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

A defaut tu peux le plotter dans DesmosGraph, qui accepte désormais les
complexes.
En passant, il a l'un des plus puissants moteurs de fitting
non-linéaire; ça peut servir ;-)

Merci pour le tuyau mais je ne cherche pas à résoudre cette équation,
c'était une simple question de curiosité.

[Python]

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
a^x + b^x + c = 0

Si par analytique tu entends explicite (compinaison de polynômes,
fonctions trigonométriaue, exp, log, etc.) il est probable que non. Ça
devrait pouvoir se démontrer en exprimant a^x = exp(x.log(a)), idem pour
b^x et en invoquant le théorème de Lindemann-Weierstrass :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lindemann-Weierstrass

[Python]

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
a^x + b^x + c = 0

Si par analytique tu entends explicite (compinaison de polynômes,
fonctions trigonométriques, exp, log, etc.) il est probable que non. Ça
devrait pouvoir se démontrer en exprimant a^x = exp(x.log(a)), idem pour
b^x et en invoquant le théorème de Lindemann-Weierstrass :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lindemann-Weierstrass

[Michel Talon]

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

https://rxiv.org/pdf/2304.0123v1.pdf

[efji]

Post by Michel Talon

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

https://rxiv.org/pdf/2304.0123v1.pdf

On peut mettre n'importe quoi sur ce genre de site :)
Dès la 3eme ligne c'est faux (sauf si n=x).

C'est écrit de façon très bizarre, visiblement par un amateur dans sa
cuisine, du style de ceux qui envoient des manuscrits pour démontrer le
grand théorème de Fermat ou la conjecture de Goldbach :)
Ca donne peut-être une méthode itérative qui tend vers la solution mais
il n'y a aucune preuve, juste des évaluations au doigt mouillé.

Si on cherche une méthode itérative pour approcher la solution, il y en
a des tonnes qui ont fait leurs preuves. Par exemple la méthode de
Newton devrait marcher si on a une assez bonne estimation initiale :

x_0 donné, "assez proche" de x.
x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

avec f(x) = a^x + b^x + c
et donc f'(x) = ln(a)(a^x) + ln(b)(b^x)

C'est bien plus simple et ça converge très vite (quadratiquement)
lorsque ça converge (quelques itérations pour atteindre la précision
machine).

[efji]

Post by efji

Post by Michel Talon

Post by Julien Arlandis
Bonjour,
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

https://rxiv.org/pdf/2304.0123v1.pdf

On peut mettre n'importe quoi sur ce genre de site :)
Dès la 3eme ligne c'est faux (sauf si n=x).
C'est écrit de façon très bizarre, visiblement par un amateur dans sa
cuisine, du style de ceux qui envoient des manuscrits pour démontrer le
grand théorème de Fermat ou la conjecture de Goldbach :)
Ca donne peut-être une méthode itérative qui tend vers la solution mais
il n'y a aucune preuve, juste des évaluations au doigt mouillé.
Si on cherche une méthode itérative pour approcher la solution, il y en
a des tonnes qui ont fait leurs preuves. Par exemple la méthode de
x_0 donné, "assez proche" de x.
x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
avec f(x) = a^x + b^x + c
et donc f'(x) = ln(a)(a^x) + ln(b)(b^x)
C'est bien plus simple et ça converge très vite (quadratiquement)
lorsque ça converge (quelques itérations pour atteindre la précision
machine).

J'ai fait quelques essais numériques. La méthode du papier converge bien
et elle est assez robuste (elle semble converger quel que soit le point
de départ). Il s'agit en fait d'une bête méthode de point fixe sur une
fonction bizarre : on cherche les x tels que f(x) = x avec

f(x) = (log(b^x(c-1)+c-a^x)-log(a^x+b^x))/log(b)

On a convergence linéaire (cf. plus bas) si |f'(x)|<1. On observe bien
la convergence linéaire avec une pente assez forte. La méthode est
efficace. Sans surprise la méthode de Newton ci-dessus a une convergence
quadratique mais elle diverge si on part d'une valeur trop éloignée de
la solution.

Exemple d'erreurs successives montrant une convergence linéaire :

1.
10^{-2}
10^{-4}
10^{-6}
10^{-8}
10^{-10}
10^{-12}
10^{-14}
10^{-16}

Exemple d'erreurs successives montrant une convergence quadratique :

1.
10^{-1}
10^{-2}
10^{-4}
10^{-8}
10^{-16}

[Samuel Devulder]

Post by Julien Arlandis
Existe t-il une méthode analytique pour résoudre dans C ce type
a^x + b^x + c = 0

Je vais être chiant, mais c'est quoi les constantes et quoi les
variables dans le problème. Est-ce a,b,c sont des constantes ? Quel est
leur ensemble (entiers) et on cherche x dans le plan complexe, où à
l'inverse x est constant (dans C) et on cherche c pour un a et un b des
complexes donnés ? Au fait avec a ou b complexes, on travaille dans la
branche principale du log ou faut ajouter un 2k pi I en plus ?

Le problème est trop mal posé pour moi. Peux tu mieux le décrire ?

sam.