"Lionel Dorat" wrote in message
Post by Lionel DoratOn peut même préciser : R=R' si et seulement si 2 divise disc(R),
Je ne vois pas l'argument lorsque 2 divise disc(R) (en fait, si 2 ne divise
pas d, alors oui, 2 divisant disc(R), on a évidemment [R:R']=1, mais je ne
vois pas comment on se débrouille si 2 divise d).
Exact. C'est vrai qu'il faut quelque chose de plus si d est pair. On a un
argument à base d'Eisenstein aussi (P est polynôme d'Eisenstein pour 2,
et ça implique en fait automatiquement que 2 ne divise pas [R:R']), mais
je ne sais pas si c'est vraiment plus simple que de regarder à la main.
Post by Lionel Doratc'est-à-dire si 2 est (totalement) ramifié dans Q(sqrt{2}). C'est le cas
si d = ±2 car P est un polynôme d'Eisenstein, et aussi quand d = 3 (mod
4) car P(X+1) est un polynôme d'Eisenstein.
Là, l'argument avec le polynôme d'Eisenstein m'échappe. Pour moi, le critère
d'Eisenstein servait juste pour voir si un polynôme est irréductible sur Q,
mais comme c'est évident ici, je ne vois pas comment tu l'utilises.
C'est plus important que ça : ça caractérise les extensions totalement
ramifiées. Plus précisément, si on a une extension d'anneaux de
valuations discrètes totalement ramifiée, alors le polynôme
caractéristique (ou minimal, c'est pareil par irréductibilité) d'une
uniformisante en haut est un polynôme d'Eisenstein, et inversement, une
extension engendrée par un élément dont le polynôme minimal est
d'Eisenstein est totalement ramifiée (cf. Serre, Corps locaux, I.6).
Tiens, en cherchant sur Google je tombe sur ce joli texte de Keith Conrad
qui décrit bien comment ce lien intervient quand on regarde des corps de
nombres :
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/totram.pdf
Post by Lionel DoratC'est bizarre ce que tu écris ici. Par contre, P(2X-1)=0 (mod 4), donc
P(2X-1)/4 est unitaire à coefficients entiers, et on conclue de même.
Oui voilà, désolé pour la confusion.