Interprétation du gradient, de la divergence et du rotationnel

[ast]

Bonjour,

Ce site donne une interprétation aux opérateurs grad, div et rot:

http://convergence.chez-alice.fr/phys/sup/meca/rappels.htm#_Toc51300588

### Le gradient:

Cet opérateur vectoriel agit sur un scalaire. Il est un vecteur normal à la surface de
niveau (surface où V est constant) dirigé dans le sens des V croissants.

grad V = dV/dr. er

ou er est le vecteur unitaire normal à la surface de niveau et r je suppose une
coordonnée sur la droite sur laquelle s'appuie er.


### La divergence:

Cet opérateur scalaire agit sur un vecteur. Cette valeur correspond au flux phi du vecteur
E sortant d'une unité de volume à travers une surface fermée.

div E = d(flux)/d(tau)

flux du vecteur E calculé à la surface d'une boule de volume tau et on fait tendre tau
vers 0.

### Le rotationnel:

Cet opérateur vectoriel agit sur un vecteur. Ce vecteur est parallèle à la normale du plan pour
lequel la circulation élémentaire dE est maximale.

rot E = dE/dS. en



c'est assez clair pour le gradient et pour la divergence, beaucoup moins pour le
rotationnel. QQun peut il compléter pour le rotationnel ?

[a***@yahoo.fr]

Post by ast
Bonjour,
http://convergence.chez-alice.fr/phys/sup/meca/rappels.htm#_Toc51300588
Cet opérateur vectoriel agit sur un scalaire. Il est un vecteur normal à la surface de
niveau (surface où V est constant) dirigé dans le sens des V croissants.
grad V = dV/dr. er
ou er est le vecteur unitaire normal à la surface de niveau et r je suppose une
coordonnée sur la droite sur laquelle s'appuie er.
Cet opérateur scalaire agit sur un vecteur. Cette valeur correspond au flux phi du vecteur
E sortant d'une unité de volume à travers une surface fermée.
div E = d(flux)/d(tau)
flux du vecteur E calculé à la surface d'une boule de volume tau et on fait tendre tau
vers 0.
Cet opérateur vectoriel agit sur un vecteur. Ce vecteur est parallèle à la normale du plan pour
lequel la circulation élémentaire dE est maximale.
rot E = dE/dS. en
c'est assez clair pour le gradient et pour la divergence, beaucoup moins pour le
rotationnel. QQun peut il compléter pour le rotationnel ?

***********
Quelques éléments :
**gradient ( ) à un champ de scalaires => un champ de
vecteurs,

**divergence ( ) à un champ de tenseurs (n) => un champ de tenseurs
(n -1)

**rotationnel ( ) à un champ de vecteurs => un champ de
vecteurs
Ce dernier exprime la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un
point :
dans une tornade , le vent tourne autour de l'oeil du cyclone et le
champ
vectoriel vitesse du vent a un ROTATIONNEL non nul autour de l'oeil
et
d'autant plus intense que l'on s'approche de l'oeil.

Alain

[l***@NOSPAMlaposte.net]

Post by ast
Cet opérateur vectoriel agit sur un vecteur. Ce vecteur est parallèle à la normale du plan pour
lequel la circulation élémentaire dE est maximale.
rot E = dE/dS. en

Il serait plus juste de dire que le rotationnel agit sur un champ de
vecteurs F, i.e. en chaque point M de l'espace est défini un vecteur
F(M), par exemple une force. Une force en chaque point définit un
champ de force de l'espace.

La formule de Stokes énonce que, si on se donne une surface S de
contour C, alors, en désignant par < , > le produit scalaire :

intégrale de <F,dM> (circulation E de F le long de C) est égal à
intégrale de <Rot(F),dS> (flux de rotationnel de F à travers S)

Si on prend pour C un petit cercle contenant un petit disque S d'aire
donnée, la circulation E précédente sera maximale si on choisit S
orthogonal à Rot(F), et égale approximativement à norme(Rot(F)) x
aire(S), approximation d'autant meilleure que S est petit, d'où à la
limite norme(Rot(F)) = dE/dS, d'où Rot(F) = dE/dS en.


Lavau Gérard

[Jacques Lavau]

Post by ast
c'est assez clair pour le gradient et pour la divergence, beaucoup moins pour le
rotationnel. QQun peut il compléter pour le rotationnel ?

Voir "Ils ont mathématisé de travers" et la suite du cours à :
http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.htm
ou mieux http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.pdf

La suite du cours en format html s'affiche correctement sous Mozilla
ou Firefox, mais fort mal sous m.s.ie. Dans ce cas passer au format pdf.

[Denis Feldmann]

Post by Jacques Lavau

Post by ast
c'est assez clair pour le gradient et pour la divergence, beaucoup moins pour le
rotationnel. QQun peut il compléter pour le rotationnel ?

http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.htm
ou mieux http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.pdf

Quand même, commencer par l'idée de corriger quelques bévues d'Hamilton,
que personne avant soi n'aurait relevé depuis 150 ans (alors qu'entre
autres, les physiciens ont *réellement* méprisé les quaternions pendant
80 ans, peut être parce qu'ils ne voyaient pas de sens physique à R^4),
ce n'est pas encourageant pour lire le reste.

Suit une critique de la pédagogie de l'enseignement des vecteurs et de
leurs opérations que je ne peux qu'approuver. Ensuite, un discours bidon
sur les unités du produit vectoriel, mélangeant maths, physique et
pédagogues. Personne, et pour cause, ne commettait ce genre d'erreur
parmi mes enseignants; je me targue de ne pas les commettre non plus
dans mon enseignement (niveau post-bac, certes...) en particulier,
j'explique que les vecteurs mathématiques (sans unités) ne sont *pas*
les grandeurs vectorielles du physicien, et comme ça tout le monde est
content. La notion de pseudo-vecteur, ou tourneur, est physiquement
utile, mais le fait que le produit vectoriel dépende de l'orientation de
la base canonique n'est pas non plus bien méchant... Et bien des
affirmations (genre magnétisme = circulation d'électrons) mériteraient
peut-être d'être dépoussiérées; par exemple, que fait le produit
vectoriel dans les équations de Maxwell, alors?



Quand au discours de notre illuminé de service, je crains bien qu'il
n'éclaire que lui, et pas, par exemple, les malheureux qui voudront
comprendre ce que sont rotationnel et divergence. Ou, plus simplement,
comprendre dans quel sens est dirigé la force de Coriolis...

Post by Jacques Lavau
La suite du cours en format html s'affiche correctement sous Mozilla
ou Firefox, mais fort mal sous m.s.ie. Dans ce cas passer au format pdf.

[Jacques Lavau]

Post by Denis Feldmann

Post by Jacques Lavau

Post by ast
c'est assez clair pour le gradient et pour la divergence, beaucoup moins pour le
rotationnel. QQun peut il compléter pour le rotationnel ?

http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.htm
ou mieux http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.pdf

Quand même, commencer par l'idée de corriger quelques bévues d'Hamilton,
que personne avant soi n'aurait relevé depuis 150 ans (alors qu'entre
autres, les physiciens ont *réellement* méprisé les quaternions pendant
80 ans, peut être parce qu'ils ne voyaient pas de sens physique à R^4),
ce n'est pas encourageant pour lire le reste.
Suit une critique de la pédagogie de l'enseignement des vecteurs et de
leurs opérations que je ne peux qu'approuver. Ensuite, un discours bidon
sur les unités du produit vectoriel, mélangeant maths, physique et
pédagogues. Personne, et pour cause, ne commettait ce genre d'erreur
parmi mes enseignants; je me targue de ne pas les commettre non plus
dans mon enseignement (niveau post-bac, certes...) en particulier,
j'explique que les vecteurs mathématiques (sans unités) ne sont *pas*
les grandeurs vectorielles du physicien, et comme ça tout le monde est
content. La notion de pseudo-vecteur, ou tourneur, est physiquement
utile, mais le fait que le produit vectoriel dépende de l'orientation de
la base canonique n'est pas non plus bien méchant... Et bien des
affirmations (genre magnétisme = circulation d'électrons) mériteraient
peut-être d'être dépoussiérées; par exemple, que fait le produit
vectoriel dans les équations de Maxwell, alors?
Quand au discours de notre illuminé de service, je crains bien qu'il
n'éclaire que lui, et pas, par exemple, les malheureux qui voudront
comprendre ce que sont rotationnel et divergence. Ou, plus simplement,
comprendre dans quel sens est dirigé la force de Coriolis...

Post by Jacques Lavau
La suite du cours en format html s'affiche correctement sous Mozilla
ou Firefox, mais fort mal sous m.s.ie. Dans ce cas passer au format pdf.

Toujours la haine pour unique argument, Denis...

[Denis Feldmann]

Post by Jacques Lavau

Post by Denis Feldmann

Post by Jacques Lavau

Post by ast
c'est assez clair pour le gradient et pour la divergence, beaucoup moins pour le
rotationnel. QQun peut il compléter pour le rotationnel ?

http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.htm
ou mieux http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.pdf

Quand même, commencer par l'idée de corriger quelques bévues
d'Hamilton, que personne avant soi n'aurait relevé depuis 150 ans
(alors qu'entre autres, les physiciens ont *réellement* méprisé les
quaternions pendant 80 ans, peut être parce qu'ils ne voyaient pas de
sens physique à R^4), ce n'est pas encourageant pour lire le reste.
Suit une critique de la pédagogie de l'enseignement des vecteurs et de
leurs opérations que je ne peux qu'approuver. Ensuite, un discours
bidon sur les unités du produit vectoriel, mélangeant maths, physique
et pédagogues. Personne, et pour cause, ne commettait ce genre
d'erreur parmi mes enseignants; je me targue de ne pas les commettre
non plus dans mon enseignement (niveau post-bac, certes...) en
particulier, j'explique que les vecteurs mathématiques (sans unités)
ne sont *pas* les grandeurs vectorielles du physicien, et comme ça
tout le monde est content. La notion de pseudo-vecteur, ou tourneur,
est physiquement utile, mais le fait que le produit vectoriel dépende
de l'orientation de la base canonique n'est pas non plus bien
méchant... Et bien des affirmations (genre magnétisme = circulation
d'électrons) mériteraient peut-être d'être dépoussiérées; par exemple,
que fait le produit vectoriel dans les équations de Maxwell, alors?
Quand au discours de notre illuminé de service, je crains bien qu'il
n'éclaire que lui, et pas, par exemple, les malheureux qui voudront
comprendre ce que sont rotationnel et divergence. Ou, plus simplement,
comprendre dans quel sens est dirigé la force de Coriolis...

Post by Jacques Lavau
La suite du cours en format html s'affiche correctement sous Mozilla
ou Firefox, mais fort mal sous m.s.ie. Dans ce cas passer au format pdf.

Toujours la haine pour unique argument, Denis...

Par exemple, les 30 lignes précédentes (avec ma remarque sur les
quaternions, ou ma question sur le rôle du produit vectoriel dans les
équations de Maxwell) se résument à "je te hais" (y compris le passage
que j'approuve sur les confusions induites par l'enseignement). Mais
non, mon grand, je ne te hais pas, je te méprise seulement. Vu que tu
méprises tout le monde, ça doit pas te dépayser...

[StefJM]

Post by Jacques Lavau
Toujours la haine pour unique argument, Denis...

Tu plaisantes?
Mis à part le dernier paragraphe de Denis, que je peux comprendre vu vos
contentieux passés, tu n'as rien d'autres en réponse?
Décevant.

[Jacques Lavau]

Post by StefJM

Post by Jacques Lavau
Toujours la haine pour unique argument, Denis...

Tu plaisantes?
Mis à part le dernier paragraphe de Denis, que je peux comprendre vu vos
contentieux passés, tu n'as rien d'autre en réponse?
Décevant.

De troud'culibus non curat praetor.

[Denis Feldmann]

Post by Jacques Lavau

Post by StefJM

Post by Jacques Lavau
Toujours la haine pour unique argument, Denis...

Tu plaisantes?
Mis à part le dernier paragraphe de Denis, que je peux comprendre vu
vos contentieux passés, tu n'as rien d'autre en réponse?
Décevant.

De troud'culibus non curat praetor.

Voilà un argument relevé (par le latin)

[StefJM]

Post by Denis Feldmann

Post by Jacques Lavau
http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.htm
ou mieux http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.pdf

Quand même, commencer par l'idée de corriger quelques bévues d'Hamilton,
que personne avant soi n'aurait relevé depuis 150 ans (alors qu'entre
autres, les physiciens ont *réellement* méprisé les quaternions pendant
80 ans, peut être parce qu'ils ne voyaient pas de sens physique à R^4),
ce n'est pas encourageant pour lire le reste.
Suit une critique de la pédagogie de l'enseignement des vecteurs et de
leurs opérations que je ne peux qu'approuver. Ensuite, un discours bidon
sur les unités du produit vectoriel, mélangeant maths, physique et
pédagogues. Personne, et pour cause, ne commettait ce genre d'erreur
parmi mes enseignants; je me targue de ne pas les commettre non plus
dans mon enseignement (niveau post-bac, certes...) en particulier,
j'explique que les vecteurs mathématiques (sans unités) ne sont *pas*
les grandeurs vectorielles du physicien, et comme ça tout le monde est
content.

[...]

On fait des produits vectoriels avec des grandeurs vectorielles de
physicien? On a le droit bien que ce ne soit pas des vecteurs
mathématiques? Tout le monde est peut-être content mais j'avoue que je
ne comprend pas bien ce que tu veux dire par là. Si tu pouvais préciser
ou donner des références vers l'explication kivabien.

C'est un peu comme la fameuse "unité" du cercle "unité" (ou du vecteur
unitaire) qui est sans unité en math?

J'aimerais assez comprendre.

Post by Denis Feldmann
La notion de pseudo-vecteur, ou tourneur, est physiquement
utile, mais le fait que le produit vectoriel dépende de l'orientation de
la base canonique n'est pas non plus bien méchant... Et bien des
affirmations (genre magnétisme = circulation d'électrons) mériteraient
peut-être d'être dépoussiérées; par exemple, que fait le produit
vectoriel dans les équations de Maxwell, alors?

J'avoue que je n'ai jamais eu l'occasion de creuser le lien entre
produit vectoriel et rotationnel depuis la prépa où j'ai appris le truc
mnémotechnique de l'opérateur nabla sans chercher à comprendre.

Un lien ou un développement sur ce sujet?

Post by Denis Feldmann
Quand au discours de notre illuminé de service, je crains bien qu'il
n'éclaire que lui, et pas, par exemple, les malheureux qui voudront
comprendre ce que sont rotationnel et divergence. Ou, plus simplement,
comprendre dans quel sens est dirigé la force de Coriolis...

Que tu es meuchant. ;-)
J'espère que grâce à toi, je vais enfin comrendre cette vache d'unité
sans unité.

[Mehdi Tibouchi]

Post by StefJM
On fait des produits vectoriels avec des grandeurs vectorielles de
physicien? On a le droit bien que ce ne soit pas des vecteurs
mathématiques? Tout le monde est peut-être content mais j'avoue que je
ne comprend pas bien ce que tu veux dire par là. Si tu pouvais préciser
ou donner des références vers l'explication kivabien.

Il faut un peu de géométrie différentielle pour y comprendre quelque
chose. La physique se passe dans un certain espace X qui est généralement
l'espace R^3 mais pourrait être autre chose (par exemple, si l'on étudie
le mouvement d'un pendule simple, l'espace naturel à choisir est plutôt
le cercle S^1 sur lequel il se balade).

Ce que les physiciens appellent un « vecteur » v, c'est en fait un
vecteur tangent en un certain point x de X (par exemple, dans le cas du
pendule, le « vecteur vitesse », c'est la donnée d'un vecteur tangent en
un certain point du cercle), ou plus souvent même un champ de vecteurs
(quand on parle par exemple du vecteur E en électromagnétisme). Autrement
dit, c'est point de l'espace total (resp. une section) du fibré tangent T
à X. Je vais un peu jargonner dans ce qui suit, mais il n'y a pas
grand-chose de conceptuellement compliqué.

Une opération multilinéaire qui a toujours un sens entre deux fibrés,
c'est le produit extérieur. qv/\E, on peut comprendre ça comme le produit
extérieur de deux sections du fibré tangent T. Mais le résultat n'est pas
une section de T (un champ de vecteurs), c'est une section de T/\T, qui
dans le cas où X est de dimension 3 est encore un fibré vectoriel de rang
3, mais qui n'a pas de raison d'être « le même ». Les sections de ce
fibré sont ce que les physiciens appellent pseudo-vecteurs, ou vecteurs
axiaux ou je ne sais plus quoi (ou encore (0,2)-tenseurs antisymétriques
peut-être).

Le produit extérieur fournit par ailleurs une application bilinéaire
T x T/\T -> O=/\³T. Ce fibré O est (toujours pour X de dimension 3) un
fibré en droites, et quand il est trivial (i.e. possède une section
partout non nulle), on dit que la variété X est orientable. Supposons que
ce soit le cas. Alors l'application bilinéaire précédente est une dualité
parfaite, et le choix d'une orientation identifie T/\T au dual de T, mais
pas encore à T lui-même.

Ce sera le cas si l'on dispose en plus d'un produit scalaire sur les
fibres de T, c'est-à-dire si la variété est munie d'une structure
riemannienne. À ce moment-là, on peut faire globalement ce qu'on fait
d'habitude dans R^3, à savoir identifier T/\T à T via l'orientation d'une
part et la métrique d'autre part, et on a alors effectivement un produit
vectoriel : le produit vectoriel de deux champs u et v, ce sera le
champ de vecteurs u x v tel que pour tout vecteur z, on ait

w(u/\v/\z) = g(u x v · z)

(où w est l'orientation, section globale du dual de O, et g est la
métrique, section globale du dual de Sym² T).

Mais donc, c'est quelque chose qui n'existe que sur les variétés
orientables, et qui dépend à la fois du choix d'une orientation et de
celui d'une métrique. C'est assez artificiel de l'introduire quand on
veut en fait vraiment parler d'un truc qui est juste un pseudo-vecteur.

[Michel Talon]

Post by Mehdi Tibouchi
Mais donc, c'est quelque chose qui n'existe que sur les variétés
orientables, et qui dépend à la fois du choix d'une orientation et de
celui d'une métrique. C'est assez artificiel de l'introduire quand on
veut en fait vraiment parler d'un truc qui est juste un pseudo-vecteur.

Voilà tu as parfaitement donné la raison mathématique pour laquelle
introduire la notion de produit vectoriel ou de pseudo vecteur n'est pas
une idée fantastiquement bonne. Pour ce qui est de la raison physique,
il est évident que les équations de Maxwell relativistes s'écrivent de
façon beaucoup plus naturelle sans ce fourbi. Comme il a été dit
plusieurs fois, l'objet naturel est un tenseur antisymétrique F_{mu nu}
avec mu nu = 0, 1, 2, 3. Ce tenseur vérifie une équation équivalente au
fait que l'on peut écrire localement
F_{mu nu} = d_mu A_nu - d_nu A_mu
définissant ainsi le "champ vectoriel" A_mu et mettant trivialement en
évidence l'invariance de jauge A_mu -> A_mu + d_mu f quel que soit f.
La condition en question est que la forme F_{mu nu} dx_mu dx_nu soit
fermée, ce qui se pose naturellement sur n'importe quelle variété.
Ceci résume deux des équations de Maxwell. Les deux autres sont la
relation avec charge et courant, qui s'écrit de façon simplissime
d^mu F_{mu nu} = j_nu

Pour passer aux notations traditionnelles avec le pseudo vecteur B et le
vecteur E il faut poser

F_{0i} = E_i i=1, 2, 3

F_{12} = B_3 et permutations circulaires, ce qui est si peu naturel, et
vient en effet de l'identification par une orientation d'un 2 tenseur
antisymétrique avec un pseudo vecteur.

Bref tout ça est archi connu depuis des lustres, je ne comprends pas
qu'on puisse encore se poser ces problèmes.

[Joe Cool]

Post by Michel Talon
Bref tout ça est archi connu depuis des lustres, je ne comprends pas
qu'on puisse encore se poser ces problèmes.

Le problème c'est que dans un cadre scolaire, la chose n'est absolument
pas « archi connue » par les étudiants. Soit on présente tout dans
l'ordre chronologique, soit on introduit les objets idoines, peu importe
qu'ils soient jugés « hors programme ». Il est désolant de voir les
étudiants prendre l'habitude pour de la compréhension. On se retrouve
ensuite à devoir tout reprendre à zéro face à des idiots savants.
Évidemment, le pauvre étudiant ayant compris trop tôt le problème se
trouve dégoûté par le monceau de non-sens qu'on l'a contraint à
ingurgiter. Mais c'est aussi à l'école qu'on apprend à se soumettre sans
discuter : elle forme aussi les citoyens.

[Jacques Lavau]

Post by Joe Cool

Post by Michel Talon
Bref tout ça est archi connu depuis des lustres, je ne comprends pas
qu'on puisse encore se poser ces problèmes.

Le problème c'est que dans un cadre scolaire, la chose n'est absolument
pas « archi connue » par les étudiants. Soit on présente tout dans
l'ordre chronologique, soit on introduit les objets idoines, peu importe
qu'ils soient jugés « hors programme ». Il est désolant de voir les
étudiants prendre l'habitude pour de la compréhension. On se retrouve
ensuite à devoir tout reprendre à zéro face à des idiots savants.
Évidemment, le pauvre étudiant ayant compris trop tôt le problème se
trouve dégoûté par le monceau de non-sens qu'on l'a contraint à
ingurgiter. Mais c'est aussi à l'école qu'on apprend à se soumettre sans
discuter : elle forme aussi les citoyens.

Le prof de fac aussi, prend l'habitude pour de la compréhension, et
pour des faits expérimentaux. Il coquerique à la fin d'une longue
démonstration de MQ : "Et vous retrouvez le résultat dont vous avez
l'habitude !", c'est à dire qu'on lui a déjà enseigné en DEUG ou en
licence. Mais jamais il ne concluera "Et nous avons donc enfin
l'explication théorique à tel résultat expérimental qui nous restait
en travers de la gorge !" Bien trop de mépris envers l'expérience,
tellement ingouvernable, imprévisible, désobéissante, humiliante...

[Denis Feldmann]

Post by StefJM

Post by Denis Feldmann

Post by Jacques Lavau
http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.htm
ou mieux http://lavaujac.club.fr/Syntaxe0.pdf

Quand même, commencer par l'idée de corriger quelques bévues
d'Hamilton, que personne avant soi n'aurait relevé depuis 150 ans
(alors qu'entre autres, les physiciens ont *réellement* méprisé les
quaternions pendant 80 ans, peut être parce qu'ils ne voyaient pas de
sens physique à R^4), ce n'est pas encourageant pour lire le reste.
Suit une critique de la pédagogie de l'enseignement des vecteurs et de
leurs opérations que je ne peux qu'approuver. Ensuite, un discours
bidon sur les unités du produit vectoriel, mélangeant maths, physique
et pédagogues. Personne, et pour cause, ne commettait ce genre
d'erreur parmi mes enseignants; je me targue de ne pas les commettre
non plus dans mon enseignement (niveau post-bac, certes...) en
particulier, j'explique que les vecteurs mathématiques (sans unités)
ne sont *pas* les grandeurs vectorielles du physicien, et comme ça
tout le monde est content.

[...]
On fait des produits vectoriels avec des grandeurs vectorielles de
physicien? On a le droit bien que ce ne soit pas des vecteurs
mathématiques? Tout le monde est peut-être content mais j'avoue que je
ne comprend pas bien ce que tu veux dire par là. Si tu pouvais préciser
ou donner des références vers l'explication kivabien.
C'est un peu comme la fameuse "unité" du cercle "unité" (ou du vecteur
unitaire) qui est sans unité en math?
J'aimerais assez comprendre.

Vraiment? Ce n'est pas sorcier, pourtant... Il y a trois types d'objets
en jeu : mettons qu'on parle de forces,il y a l'objet "réel" (difficile
à décrire dans ce cas) , son modèle physique (la force) et la
représentation mathématique (le vecteur force). Les lois physiques
disent que la représentation est "bonne", par exemple qu'une opération
physique de superposition de forces sera représentée par l'opération
mathématique de somme de vecteurs. Dans ce contexte, le choix des unités
est un choix de représentation (de codage), par exemple la même force
sera codée par un vecteur de norme 1 si on code en kgf et de norme 10 si
on code en N, et les règles de codage diront à quoi correspond tel ou
tel produit vectoriel; mais on peut coder aussi en créant des couples
(vecteurs, unités) avec des règles plus compliquées (bien que personne
ne le fasse, me semble-t-il) et alors le calcul dimensionnel sera une
simple conséquence des règles opératoires dans l'objet mathématique
cible. En fin de compte, la formule Fcor=-2m v vect Omega est à
interpréter avec l'information supplémentaire selon laquelle si v est
exprimée en unités cohérentes de vitesses (par exemple en m/s), et Omega
en unités cohérentes de vitesse de rotation (par exemple en radians/s),
alors F sera en effet exprimée en N (et un calcul indépendant sur les
unités permettrait au besoin d'obtenir la bonne réponse si les unités
initiales étaient incohérentes)



Quand au mot unité (en général au singulier) employé en mathématique, il
n'a aucun rapport avec le précédent, et renvoie à l'apparition du nombre
1 (le cercle unité, c'est le cercle de rayon 1, etc.)

Post by StefJM

Post by Denis Feldmann
La notion de pseudo-vecteur, ou tourneur, est physiquement utile, mais
le fait que le produit vectoriel dépende de l'orientation de la base
canonique n'est pas non plus bien méchant... Et bien des affirmations
(genre magnétisme = circulation d'électrons) mériteraient peut-être
d'être dépoussiérées; par exemple, que fait le produit vectoriel dans
les équations de Maxwell, alors?

J'avoue que je n'ai jamais eu l'occasion de creuser le lien entre
produit vectoriel et rotationnel depuis la prépa où j'ai appris le truc
mnémotechnique de l'opérateur nabla sans chercher à comprendre.
Un lien ou un développement sur ce sujet?

Pourquoi pas http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel ? Mais bon, pour
comprendre le miracle formel qui a lieu, le cadre correct est l'algèbre
extérieure, et physiquement, c'est pas très clair. Peut-êytre partir de
la formule de Stokes générale
(http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stokes )?

Post by StefJM

Post by Denis Feldmann
Quand au discours de notre illuminé de service, je crains bien qu'il
n'éclaire que lui, et pas, par exemple, les malheureux qui voudront
comprendre ce que sont rotationnel et divergence. Ou, plus simplement,
comprendre dans quel sens est dirigé la force de Coriolis...

Que tu es meuchant. ;-)
J'espère que grâce à toi, je vais enfin comrendre cette vache d'unité
sans unité.

[brieucs]

ast wrote:

[...]
[...]

Post by ast
rot E = dE/dS.

ici le "d" est difficile à interprêter;
on peut chercher à exprimer rot E en un
point p de l'espace, de la façon suivante :

on prend pour S une surface infinitésimale
située en p, par exemple construite sur
2 très-petits vecteurs u et v issus de p,

S est bien représentée par le produit vectoriel
(u x v), et le flux du vecteur rot E
à travers S approché par rot E .(u x v)

c'est une expression bilinéaire antisymétrique
en (u,v);

la circulation de E autour de S , c'est
la circulation de E le long du chemin
" u, v, -u, -v "

en remplaçant E(p+w)-E(p) par une expression
E'(p).w linéaire en w pour des très-petits w,
on obtient pour la circulation de E autour de S :
(E'(p).u).v - (E'(p).v).u

et on retrouve l'expression de rot E, en
remplaçant u et v par les vecteurs du repère i,j,k