Equivalent du reste de la serie exponentielle

[Theophane Weber]

Bonjour tout le monde,

J'ai fini mes classes preparatoires il y a deux ans maintenant et
comme tout bon ingenieur, j'ai completement oublie ce que j'y avais
appris (sigh.. tant de temps...). Enfin completement j'exagere un peu,
mais bon voila j'ai un petit probleme et j'ai un peu honte de ne pas
reussir a le resoudre: J'ai un programme d optimisation non lineaire a
ecrire, et dans ma fonction j ai des restes de series exponentielles
(sum(l^k/k!,k=n..infinity).. Comme ils ont l'air de faire souffrir
Maple, j'ai cherche un equivalent du reste.. vainement...
J'ai pourtant l'impression que ca ne doit pas etre si dur que ca..
Enfin je me trompe peut etre...
Toute aide serait la bienvenue, merci!

Theophane

[Olve]

Post by Theophane Weber
Bonjour tout le monde,
J'ai fini mes classes preparatoires il y a deux ans maintenant et
comme tout bon ingenieur, j'ai completement oublie ce que j'y avais
appris (sigh.. tant de temps...). Enfin completement j'exagere un peu,
mais bon voila j'ai un petit probleme et j'ai un peu honte de ne pas
reussir a le resoudre: J'ai un programme d optimisation non lineaire a
ecrire, et dans ma fonction j ai des restes de series exponentielles
(sum(l^k/k!,k=n..infinity).. Comme ils ont l'air de faire souffrir
Maple, j'ai cherche un equivalent du reste.. vainement...
J'ai pourtant l'impression que ca ne doit pas etre si dur que ca..
Enfin je me trompe peut etre...
Toute aide serait la bienvenue, merci!
Theophane

Bonjour,

Premiere technique :
"k! croit si vite que seul le premier terme compte" :
si S(n) est la somme, alors
S(n)= (1/n!) (1+ A/(n+1))
avec A<= e /(n+2) ou le "e" vient en comparant
les series sum(1/k! , k>= 0) et sum(1/(n+1+k)!, k>=0)
Deuxieme technique :
Stirling dit "n! equivalent a (n/e)^n sqrt(2 pi n) exp(theta_n/(12n))
avec theta_n entre 0 et 1" (j'ai la flemme de verifier
si le sqrt(...) est au numerateur ou au denominateur ...). Ensuite
il ne reste que des fonctions C-infinies et c'est tout cuit.
Amities,
Olivier

[Michel Talon]

Post by Theophane Weber
Bonjour tout le monde,
J'ai fini mes classes preparatoires il y a deux ans maintenant et
comme tout bon ingenieur, j'ai completement oublie ce que j'y avais
appris (sigh.. tant de temps...). Enfin completement j'exagere un peu,
mais bon voila j'ai un petit probleme et j'ai un peu honte de ne pas
reussir a le resoudre: J'ai un programme d optimisation non lineaire a
ecrire, et dans ma fonction j ai des restes de series exponentielles
(sum(l^k/k!,k=n..infinity).. Comme ils ont l'air de faire souffrir
Maple, j'ai cherche un equivalent du reste.. vainement...
J'ai pourtant l'impression que ca ne doit pas etre si dur que ca..
Enfin je me trompe peut etre...
Toute aide serait la bienvenue, merci!

Tu appliques la formule de Taylor avec reste "explicite" à f(x)=exp(x).
Le reste est x^{n+1}/(n+1)! f^(n+1)(theta x) avec 0<theta<1 donc ici
tu ne peux faire guère mieux que x^(n+1)/(n+1)! exp(x).

Post by Theophane Weber
Theophane

[Theophane Weber]

Post by Michel Talon

Post by Theophane Weber
Bonjour tout le monde,
J'ai fini mes classes preparatoires il y a deux ans maintenant et
comme tout bon ingenieur, j'ai completement oublie ce que j'y avais
appris (sigh.. tant de temps...). Enfin completement j'exagere un peu,
mais bon voila j'ai un petit probleme et j'ai un peu honte de ne pas
reussir a le resoudre: J'ai un programme d optimisation non lineaire a
ecrire, et dans ma fonction j ai des restes de series exponentielles
(sum(l^k/k!,k=n..infinity).. Comme ils ont l'air de faire souffrir
Maple, j'ai cherche un equivalent du reste.. vainement...
J'ai pourtant l'impression que ca ne doit pas etre si dur que ca..
Enfin je me trompe peut etre...
Toute aide serait la bienvenue, merci!

Tu appliques la formule de Taylor avec reste "explicite" à f(x)=exp(x).
Le reste est x^{n+1}/(n+1)! f^(n+1)(theta x) avec 0<theta<1 donc ici
tu ne peux faire guère mieux que x^(n+1)/(n+1)! exp(x).

Post by Theophane Weber
Theophane

Merci beaucoup, j'avais conjecture un resulat de ce genre, mais la
verification sous Maple ne donnait rien (j'imagine que les nombres
sont trop petits pour Maple) Pour le reste
sum(x^k/k!,k=n+1..infinity), il n existe donc pas d equivalent, mais
seulement un encadrement?

Theo

[Olve]

Post by Theophane Weber
sum(x^k/k!,k=n+1..infinity), il n existe donc pas d equivalent, mais
seulement un encadrement?

Allons soyons serieux et surs de nous : pour une serie aussi simple,
on ne saurait pas calculer d'equivalent ???? Une conjugaison hardie
mais somme toute aisee des reponses (1) et (2) me semble pourtant
une piste a eclairer ....
Mais pilosophiquement parlant, pourquoi avoir un equivalent pour un
terme reste numerique qui fait intervenir pi alors qu'on n'attrapera
ce dernier que par sa valeur approchee ?
Amities,
Olivier

[Michel Talon]

Post by Olve

Post by Theophane Weber
sum(x^k/k!,k=n+1..infinity), il n existe donc pas d equivalent, mais
seulement un encadrement?

Allons soyons serieux et surs de nous : pour une serie aussi simple,
on ne saurait pas calculer d'equivalent ???? Une conjugaison hardie
mais somme toute aisee des reponses (1) et (2) me semble pourtant
une piste a eclairer ....
Mais pilosophiquement parlant, pourquoi avoir un equivalent pour un
terme reste numerique qui fait intervenir pi alors qu'on n'attrapera
ce dernier que par sa valeur approchee ?

Philosophiquement, comme tu dis, le plus important est que pour x assez
grand, exp(x) dominera toujours infiniment les n premiers termes du
développement de Taylor, donc le reste est la seule chose qui compte, si
j'ose dire, pour x grand.

Post by Olve
Amities,
Olivier