calcul intéral et volume d'une boule

[hélios]

tout est dans l'objet.
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.
Merci d'avance

[grossbaff]

Post by hélios
tout est dans l'objet.
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.
Merci d'avance

Si tu fais ça en coordonnées sphériques, ça va "tout seul".
Tu intégres pour r entre 0 et R, theta entre 0 et pi, phi entre 0 et 2
pi. En coordonnées spériques, le Jacobien ("l'équivalent" du dx dy dz
cartésien pour l'intégration sur un volume) est :
r^2 * sin(theta) * d_r * d_theta * d_phi

et donc en intégrant à 3 dimensions sur les 3 coordonnées, en utilisant
le théorème de Fubini :

volume = int(r^2 * d_r de 0 à R) * int(sin(theta) * d_theta de 0 à Pi)
* int(d_phi entre 0 et 2 Pi)
volume = (1/3) * r^3 * [cos(0) - cos(Pi)] * 2*pi
volume = (4/3) * Pi * r^3

Voilà, j'espère que c'est compréhensible, parce que c'est mal écrit ...
Sinon, j'avoue que c'est pas très "joli" ni propre comme méthode, mais
j'avoue que c'est comme ça qu'on faisait en Physique l'an dernier.

[Lucien L.]

Post by grossbaff
Si tu fais ça en coordonnées sphériques, ça va "tout seul".

Ouh la, il y a plus simple !
On calcule le volume de la 1/2 sphere:

pour une hauteur h donnée, le rayon est : sqrt(R^2-h^2) (Pythagore)
la surface du disque correspondant est : pi * (R^2-h^2)
la volume de la 1/2 sphere est donc : int (pi * (R^2-h^2) * d_h de 0 à R)

= pi R^3 - 2/3 pi R^3
= 2/3 pi R^3

et voilà.

[grossbaff]

Post by Lucien L.

Post by grossbaff
Si tu fais ça en coordonnées sphériques, ça va "tout seul".

Ouh la, il y a plus simple !
pour une hauteur h donnée, le rayon est : sqrt(R^2-h^2) (Pythagore)
la surface du disque correspondant est : pi * (R^2-h^2)
la volume de la 1/2 sphere est donc : int (pi * (R^2-h^2) * d_h de 0 à R)
= pi R^3 - 2/3 pi R^3
= 2/3 pi R^3
et voilà.

Maintenant que tu le dis, ça me revient. On avait fait comme ça en
Terminale. Merci de me le rappeler.

[Sylvain]

Post by hélios
tout est dans l'objet.
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.
Merci d'avance

Le rayon du disque formé par un plan coupant une sphére évolu avec sa
translation en fonction de :
g(x) = sqrt( r^2-x^2)

Donc l'aire du disque évolue en fonction de f(x) = (r^2-x^2)* pi

Donc l'intégrale suivant donne le volume de la sphére

V = pi * int[r ; -r] (r^2-x^2) dx

F (x) = (x r^2 - (1/3)x^3 ) * pi

V = ( (2 r ) r^2 - (1/3) 2 r^3 ) * pi

V = (2 r^3 - (2/3) r ^3) * pi

V = (4/3) r^3 pi

[hélios]

merci à tous.

Post by Sylvain

Post by hélios
tout est dans l'objet.
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.
Merci d'avance

Le rayon du disque formé par un plan coupant une sphére évolu avec sa
g(x) = sqrt( r^2-x^2)
Donc l'aire du disque évolue en fonction de f(x) = (r^2-x^2)* pi
Donc l'intégrale suivant donne le volume de la sphére
V = pi * int[r ; -r] (r^2-x^2) dx
F (x) = (x r^2 - (1/3)x^3 ) * pi
V = ( (2 r ) r^2 - (1/3) 2 r^3 ) * pi
V = (2 r^3 - (2/3) r ^3) * pi
V = (4/3) r^3 pi

[ast]

Post by hélios
tout est dans l'objet.
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.
Merci d'avance

Allez, encore une autre façon de faire.

La surface d'une sphère de rayon R est 4pi.R²

Le volume s'obtient par intégration

V=int(0,R, 4pi.r² dr) = 4/3.pi.R^3

[Gilles Robert]

Post by ast

Post by hélios
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.

Allez, encore une autre façon de faire.
La surface d'une sphère de rayon R est 4pi.R²

Comment tu démontres ça indépendamment du volume de la sphère ?

Post by ast
Le volume s'obtient par intégration
V=int(0,R, 4pi.r² dr) = 4/3.pi.R^3

Je dirais plutôt que la surface s'obtient à partir du volume en dérivant
par rapport au rayon.

[Sylvain]

Post by Gilles Robert

Post by ast

Post by hélios
comment retrouver par le calcul intégral le volume d'une boule de rayon R.

Allez, encore une autre façon de faire.
La surface d'une sphère de rayon R est 4pi.R²

Comment tu démontres ça indépendamment du volume de la sphère ?

On peut calculer la surface de la sphére en considérant, qu'elle est une
suite de cercle dont le rayon évolu en fonction de
sqrt(r^2-x^2) dx

Pour réalisé cette intrégrale il faut que la surface balayé sur la sphére
soit en proportion de son avancement donc

On fait le dérivé de : sqrt(r^2-x^2)

sqrt(r^2-x^2) dx
a pour dérivé : x/sqrt(r^2-x^2) dx

Cette intégrale doit donner la surface de la sphére :
int [0;2r] sqrt(r^2-x^2)*sqrt ( (x/sqrt(r^2-x^2))^2+1) dx

Si on fait la primitive de sqrt(r^2-x^2)*sqrt((x/sqrt(r^2-x^2))^2+1) =
f(x)

F(x) = r x

La surface de la sphére par intégrale :

((0r * x) - (r * 2x)) * 2 * pi = surface de la sphére

Soit 4*r*x*pi = surface de la sphére

r et x étant tout les deux le rayon de la sphére : 4*r^2*pi = surface de la
sphére

Post by Gilles Robert

Post by ast
Le volume s'obtient par intégration
V=int(0,R, 4pi.r² dr) = 4/3.pi.R^3

Je dirais plutôt que la surface s'obtient à partir du volume en dérivant
par rapport au rayon.

[ast]

Plus simple en considérant une bande circulaire sur la sphère
repérée par l'angle theta.

rayon de la bande: 2pi.R.cos(theta)
largeur de la bande: R.d(theta)
surface de la bande: 2pi.R.cos(theta).R.d(theta)

par intégration:

S = 2 * int (0, pi/2, 2pi.R.cos(theta).R.d(theta))= 4pi.R²