Discussion:
Primitive de sqrt(1+x²)
(trop ancien pour répondre)
Richard Hachel
2022-08-16 10:38:10 UTC
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Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)

R.H.
Samuel DEVULDER
2022-08-16 11:12:58 UTC
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Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Olivier Miakinen
2022-08-16 11:16:17 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
--
Olivier Miakinen
Julien Arlandis
2022-08-16 12:04:20 UTC
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Post by Olivier Miakinen
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Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le
faire à la main ?
Python
2022-08-16 12:28:34 UTC
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Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le
faire à la main ?
Changement de variable. Poser u = sinh(x).

Pas vraiment compliqué...
Python
2022-08-16 12:29:52 UTC
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Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le
faire à la main ?
Changement de variable. Poser u = sinh(x).
Dans l'autre sens plutôt : x = sinh(u)
Post by Python
Pas vraiment compliqué...
etc.
Python
2022-08-16 12:37:51 UTC
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Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le
faire à la main ?
Si on ne connaît pas les fonction hyperboliques, on peut y arriver
aussi avec x = tan(u), c'est un peu plus long qu'avec x = sinh(u)
mais ça marche aussi.

Je laisse les détails en exercice pour Lengruche.
Julien Arlandis
2022-08-16 13:37:49 UTC
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Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le
faire à la main ?
Si on ne connaît pas les fonction hyperboliques, on peut y arriver
aussi avec x = tan(u), c'est un peu plus long qu'avec x = sinh(u)
mais ça marche aussi.
Je laisse les détails en exercice pour Lengruche.
Effectivement, bien vu.
HB
2022-08-20 15:50:31 UTC
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Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
Ah, désolé pour la redite.
Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le
faire à la main ?
Bonjour,

Cela ressemble à une exercice assez standard :

1°) Il y a d'abord la bonne vieille intégration par parties :
Intégrale(UV') = [UV] - Intégrale(U'V)

On choisit donc U = Sqrt(1 + X²) et V' = 1

U' = 1/2 . 2X . 1/Sqrt(1 + X²) V = X

U'V = X² / Sqrt(1 + X²)

2°) Astuce connue : On fait revenir le truc que l'on cherche

X² / Sqrt(1 + X²) = (X² + 1) / Sqrt(1 + X²) - 1/Sqrt(1 + X²)

donc U'V = Sqrt(1 + X²) - 1/Sqrt(1 + X²)
= UV' - 1/Sqrt(1 + X²)

Ainsi,

Intégrale(UV') = [UV] - Intégrale(UV') + Intégrale(1/Sqrt(1 + X²) )

donc

2*Intégrale(UV') = [UV] + Intégrale(1/Sqrt(1 + X²) )


3°) ArcSinh a une dérivée "connue" qui est 1/Sqrt(1 + X²)

... fin de l'aventure

amicalement,

HB

Olivier Miakinen
2022-08-16 11:14:49 UTC
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Bonjour,
Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
J'ai trouvé ceci :
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx^2%29
--
Olivier Miakinen
Samuel DEVULDER
2022-08-16 11:16:23 UTC
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Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29

1/2 (sqrt(x^2 + 1) x + ln(sqrt(x^2 + 1) + x)) + constant

Equivalent à

1/2 (sqrt(x^2 + 1) x + sinh^(-1)(x)) + constant
Richard Hachel
2022-08-16 22:07:37 UTC
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Post by Samuel DEVULDER
Post by Richard Hachel
Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²)
https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
1/2 (sqrt(x^2 + 1) x + ln(sqrt(x^2 + 1) + x)) + constant
Merci, tu es un chou.

R.H.
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