limite de exp(x)/x en + l'infini

[prat]

Bonjour,

Je suis sûr qu'en + l'infini,exp(x) l'emporte largement sur x.
Comment démontrer que lim (x->+ infini) exp(x)/x = + infini ?

merci.

[Denis Feldmann]

Post by prat
Bonjour,
Je suis sûr qu'en + l'infini,exp(x) l'emporte largement sur x.
Comment démontrer que lim (x->+ infini) exp(x)/x = + infini ?

Ca dépend un peu de tes connaissances. Tu peux déjà remarquer que
exp(x+1)=e *(exp(x), et avec un peu d'atuce en déduire que si
f(x)=exp(x)/x et si x>2, on aura f(x+1)>2f(x), puis conclure par
encadrement...

Post by prat
merci.

[Denis Leger]

Le 28 Feb 2007 07:27:47 -0800

Post by prat
Bonjour,
Je suis sûr qu'en + l'infini,exp(x) l'emporte largement sur x.
Comment démontrer que lim (x->+ infini) exp(x)/x = + infini ?

Il y a plein de façons de faire, ça dépend de ta définition de
l'exponentielle. Admettons que tu la définis comme fonction inverse du
log népérien, celui-ci étant défini comme la primitive s'annulant en 1
de la fonction x->1/x.

On a pour x>1, 1/x plus petit que 1/sqrt(x), d'où en intégrant entre 1
et x : ln x < 2sqrt(x), donc x-ln x > x-2sqrt(x), on en déduit
facilement x-ln x tend vers +l'infini, et par passage à l'exponentielle
on conclut.

[Appolonius]

Tu peux également démontrer que exp(x) > x^2/2 d'où exp(x)/x > x/2 qui tend
vers +inf en +inf.

Pour cela on considère f(x) = exp(x) - x^2/2
d'où f '(x) = exp(x) - x, cherchons son signe.
On dérive encore un coup : f ''(x) = exp(x) - 1 >= 0 sur [0 ; +inf[,
donc f ' croissante sur [0 ; +inf[
En 0, f '(0) = 1 >0 donc f '(x) positif donc f croissante sur [0 ; +inf[
Encore une fois pour le plaisir, en 0 f (0) = 1 donc f (x) positif
d'où le résultat exp(x) - x^2/2 >= 0 sur [0 ; +inf[.

[sotwafits]

Bonjour

Variante de la méthode proposée par Appolonius :

On montre que pour tout x>0, e^x > x en étudiant la fonction x -> e^x-x

On divise par sqrt(x) : e^x/sqrt(x) > sqrt(x), donc e^x/sqrt(x) tend
vers +inf en +inf

On élève au carré : e^(2x)/x tend vers +inf en +inf

On divise par 2 : e^(2x)/(2x) tend vers +inf en +inf

Changement de variable y=2x : e^y/y tend vers +inf en +inf.

On montre de cette façon que pour tous a,b>0, e^(ax)/x^b tend vers +inf
en +inf