Post by Richard HachelPosons z=9i+16
Qu'est ce que c'est que ce nombre?
Si je pose à une mathématicienne de génie : "Combien d'élèves avez vous
dans votre classe?" et qu'elle me répond z=9i+16, je vais sur le coup ne
rien comprendre du tout.
Aide mémoire i²=-1
Cette racine carrée n'est définie que pour un réel positif.
C'est clair.
Pourtant, bien que cela ne soit pas possible dans R, on utilise cette
notation, et si l'on regarde bien, c'est toujours, à 100% pour des
problèmes abstraits.
J'essaye ici de comprendre que que c'est que i, et de voir si, dans notre
univers concret, on peut lui donner un intérêt. L'imagination humaine
peut-elle faire cela, sans qu'on m'insulte, sans qu'on diffame,
sans qu'on raille comme c'est le cas presque journellement sur usenet
depuis plus de trente ans.
Tu crois que c'est possible Jean-Pierre, sans qu'aussitôt tu ne nous
sorte tes attributs virils de "maitre de conférence" ou de "surveillant
général des forums".?
On en revient à la question, et non à tes divagations habituelles sur
les complexes (z) et les imaginaires (i).
Qu'est ce que i?
C'est la troisième fois que je te pose la question, comme c'est la
4538° fois que je te demande si tu as bien compris la notion de vitesse
apparente des corps relativistes en physique.
Qu'est ce que i?
Véronique Affoinez, tentera le coup en répondant, vu qu'elle est née
le 12, que i=12.
On sait jamais, ça peut marcher.
Saut que ça ne marche par, et qu'un mathématicien va avoir beaucoup de
difficultés pour trouver i.
La seule chose certaine, c'est que i²=-1. Ben oui.
Le jeune érudit va conc chercher comment (1)(1)=-1 ou comment
(-1)(-1)=-1 mais en abandonnant le problème
en quelques secondes parce que ça ne marche pas, et que, de toute façon,
dans la vie courante, ce n'est pas tout clair.
Reste alors une possibilité imaginative qui va s'avérer utile dans le
concret très rapidement (niveau scolaire).
Nous allons imaginer un monde étrange où par exemple, 7=22 ou bien
12=5, c'est à dire que le deux nombres
sont parfaitement égaux dans cet univers étrange et non-réel.
Mais nous allons imaginer surtout, un monde particulier où 1=-1 et -1=1,
plus précisément encore, un monde où existe un nombre i qui soit à la
fois égal à 1 et à -1.
Un peu comme en physique relativiste, où, pour ma rétine recevant ce
photon de Tau Ceti, le photon n'est à la fois nulle part et mais est
partout sur la trajectoire au même instant en simultanéité de
réception (hyperplan de simultanéité du sujet observant).
Si nous pensons qu'il est égal à 1, et que nous le passons au carré,
nous obtenons 1. Mais i n'est PAS égal à 1, il est à la fois égal à 1
et à son contraire.
Cet être étrange venu d'ailleurs, nous l'appelons i.
Il n'est ni vraiment 1 puisqu'il est aussi -1, il n'est pas vraiment -1,
puisqu'il est aussi 1.
Une fois l'idée en tête, nous allons découvrir quelque chose de
fantastique, les additions de nombres complexes sont très simples, mais
par contre les mathématiciens font une bourde énorme lors de leur
multiplication et cela dès le lycée. Vous allez comprendre pourquoi (si
vous êtes honnêtes et curieux).
Nous reprenons, l'idée des élèves de madame Martin et de Mlle Watson
Pour la première son nombre d'élèves est de z=16+9i pour la seconde
z=14+3i.
Pour le principal du lycée, qui n'a que deux enseignantes et qui
totalise tous les élèves sous sa coupe Z=z1+z2=30+12i
Qu'est ce que ça veut dire?
On respire, on souffle.
Posons ici i=i1=i2 avec i1=-1 et i2=1 soit i²=-1.
Cela veut dire, par exemple, que madame Martin a en fait à la fois 25
élèves et à la fois 7 élèves.
25=7
En fait, elle en a 32, mais 25 suivent les cours du matin, et 7 les cours
du soir (après 20 heures).
On comprend la suite, Mlle Watson, a 17 élèves au cours du matin, et 11
au cours du soir.
Le proviseur a 42 élèves le matin, et 18 le soir. 60 en tout.
Ainsi i a réellement les deux valeurs +1 pour les cours du soir, et -1
pour les cours du matin.
Si nous prenons une photo des classes, sans noter le moment de la prise
de vue, nous nous trouvons avec deux photos de la même classe mais avec
i=-1 sur l'une, et à la fois i=1 sur l'autre. Dans ma main, j'ai i=-1 et
i=1.
Voilà pour les additions, c'est très facile à comprendre cet exemple
détaillé.
Nous retrouvons bien, dans cet exemple, si l'on calcule ce qui se passe
pour le proviseur Z=z1.z2 avec, comme le disent les mathématiciens, qui
ne font pas ici d'erreur:
Z=(a+ib)+(a'+ib')
Z=(a+a')+i(b+b')
Addition de deux complexes.
Passons à la multiplication.
Mais là, un son de cloche incroyablement discordant va survenir.
Nous allons voir que le calcul des mathématiciens est complétement
foireux, et nous allons tomber le cul par terre en comprenant pourquoi.
Nous allons supposer que dans la classe de madame Martin, il n'y a que
des garçons. Autant le matin que le soir ; et dans la classe de Mlle
Watson que des filles.
C'est facile à comprendre, nous sommes dans un vieux lycée d'antan.
Nous restons toujours dans le concret absolu, même en utilisant i.
On va alors procéder à de la multiplication de complexes : Z=z1.z2
Le lycée a reçu une demande, pour que l'on envoie à l'académie, un
représentant de chaque classe du matin. Il y aura donc une fille de Melle
Watson, et un garçon de Madame Martin.
Question : combien de choix possible? Combien de couples possibles?
Il est évident que s'il y a 25 garçons et 17 filles dans les cours du
matin, cela me fait 425 possibilités.
Et si je ne sais pas manier mes nombres complexes, je vais retrouver un
autre nombres qui ne correspondra à aucune réalité.
Et c'est justement ici qu'une énorme bourde va survenir chez la
mathématiciens. Mais voyons pourquoi.
Ils vont poser Z=z1.z2 jusque là, ca va.
Soit Z=(a+ib).(a'+ib')=aa'+i(ab'+a'b)+i²bb' commettant là une énorme
bourde pourtant enseignée dans tous nos lycées aujourd'hui, preuve qu'en
travaillant dans l'imaginaire sans contrôler ce qu'on imagine, on imagine
des conneries.
La bourde étant commise alors jusqu'au bout de l'erreur.
Il pose alors Z=aa'-bb'+i(ab'+a'b) C'est tellement tentant de simplifier
i'=-1.
Sauf que carottes et navets imaginaires.
Ils obtiennent donc :
Z=224-27+i(174) soit 197+i(174) donc 371 possibilités pour la classe du
matin, et 23 pour la classe du soir(au lieu de 77). Ce qui est
complètement farfelu.
D'où vient l'erreur des mathématiciens?
c'est une erreur de concept, qui va se traduire par une erreur de signe.
Lorsqu'on pose Z=(a+ib).(a'+ib'), il ne faut pas tout de suite, et sans
réfléchir si on le peut Z=aa'+i(ab'+a'b)+i²bb'
Il faut d'abord écrire Z=(a+ib).(a'+ib')=aa'+i(ab'+a'b)+(ib)(ib')
Et là, seulement là, on peut donner une valeur à i. Et i a deux
valeurs possibles (-1) et (1),
c'est à dire que dans l'éqaution il a deux valeurs possibles, mais
qu'une fois l'équation posée, il faudra donner une valeur pour chacune
des deux possibilités.
On va donc avoir (attention à la bourde de signe), une équation où
i=1, et qui va donner:
Z=aa'+bb'+i(ab'+ba')
Et une autre, en posant i=-1
Z=aa'+bb'-i(ab'+ba')
Soit, de toute façon, en sachant que i peut prendre les deux valeurs :
Z=aa'+bb'+i(ab'+ba')
Ici, Z=425 pour les classes du matin, Z=77 pour les deux classes du soir.
On remarque la précision et la clarté du calcul.
Ce qu'il faut surtout retenir :
La formule de multiplication des complexes est incorrecte. Il s'y trouve
une erreur de signe,
et c'est l'inscription à la va vite de i²=-1 là où i a déjà été
identifié, comme soit 1, soit comme -1,
qui pose problème. Ici i²=+1 car s'il est identifié -1, i² vaut1, s'il
est identifié 1, i² vaut 1.
Vous rendez-vous compte à quel point la bourde était subtile?
R.H.