Cercles tangents.

[kurtz le pirate]

Bonjour,

Depuis ce matin je rame sur un problème qui semblait tout simple au
départ mais dont je n'arrive pas à trouver de solution.


Dans un repère orthonormé (O,x,y) :

- Un cercle C1 de centre O et de rayon R1. R1 connu/donné.
- Une droite D1 d'équation y = h.
h connu/donné et supérieur strict à zéro.

Trouver le centre d'un cercle C2 de rayon R2, tangent intérieurement au
cercle C1 et à la droite D1. R2 connu/donné.




Si vous avez une idée, je suis prenneur.
Merci d'avance

[Benoît L.]

Post by kurtz le pirate
Bonjour,
Depuis ce matin je rame sur un problème qui semblait tout simple au
départ mais dont je n'arrive pas à trouver de solution.
- Un cercle C1 de centre O et de rayon R1. R1 connu/donné.
- Une droite D1 d'équation y = h.
h connu/donné et supérieur strict à zéro.
Trouver le centre d'un cercle C2 de rayon R2, tangent intérieurement au
cercle C1 et à la droite D1. R2 connu/donné.

Tu places O sur y et tout est résolu, non ? Centre C2 = ( 0 , (Y - H) / 2)

Ensuite tu joues avec O et tu copies ça dans C.


J’ai tort à :

Choix de l’enseignant entre 0 et 100 et dans le sens qu’il souhaite
(félicitations ou encore nul le bonhomme Benoît).

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Post by kurtz le pirate
Depuis ce matin je rame sur un problème qui semblait tout simple au
départ mais dont je n'arrive pas à trouver de solution.
- Un cercle C1 de centre O et de rayon R1. R1 connu/donné.
- Une droite D1 d'équation y = h.
h connu/donné et supérieur strict à zéro.
Trouver le centre d'un cercle C2 de rayon R2, tangent intérieurement au
cercle C1 et à la droite D1. R2 connu/donné.

Commençons par préciser les conditions. Peut-on supposer que 0 < h ≤ R1 et que
R2 < R1 ? Ça me semble indispensable pour que le cercle C2 puisse à la fois être
tangent intérieurement au cercle C1 et tangent à la droite D1.

Cela étant posé, pour que C2 soit tangent à C1 il faut que son centre soit sur
le cercle C3 de centre O et de rayon R1−R2. Et pour qu'il soit tangent à D1 il
faut que sa coordonnée y soit h+R2 (si h+2⋅R2 ≤ R1) ou h−R2 (si h−2⋅R2 ≥ −R1,
c'est-à-dire 2⋅R2−h ≥ R1).

En conclusion.
− Si 0 < h < h + 2⋅R2 ≤ R1
y = h+R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h+R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² − 2⋅h⋅R2)
− Si 0 < h ≤ R1 ≤ 2⋅R2 - h
y = h−R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h−R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² + 2⋅h⋅R2)

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen
En conclusion.
− Si 0 < h < h + 2⋅R2 ≤ R1
y = h+R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h+R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² − 2⋅h⋅R2)
− Si 0 < h ≤ R1 ≤ 2⋅R2 - h
y = h−R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h−R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² + 2⋅h⋅R2)

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[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
En conclusion.
− Si 0 < h < h + 2⋅R2 ≤ R1
y = h+R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h+R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² − 2⋅h⋅R2)
− Si 0 < h ≤ R1 ≤ 2⋅R2 - h
y = h−R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h−R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² + 2⋅h⋅R2)

https://i.goopics.net/dgkdc9.png

Plus lisible, sans la grille ni les axes :
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[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
En conclusion.
− Si 0 < h < h + 2⋅R2 ≤ R1
y = h+R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h+R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² − 2⋅h⋅R2)
− Si 0 < h ≤ R1 ≤ 2⋅R2 - h
y = h−R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h−R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² + 2⋅h⋅R2)

Dit plus simplement, il y a entre 0 et 4 solutions possibles pour le centre du
cercle C2. Quand elles existent, ce sont les intersections du cercle de centre O
et de rayon (R1-R2) avec les droites d'équation y = h+R2 et y = h−R2.

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
https://i.goopics.net/dgkdc9.png

https://i.goopics.net/wmdidd.png

[efji]

Post by Olivier Miakinen

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Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
En conclusion.
− Si 0 < h < h + 2⋅R2 ≤ R1
y = h+R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h+R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² − 2⋅h⋅R2)
− Si 0 < h ≤ R1 ≤ 2⋅R2 - h
y = h−R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h−R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² + 2⋅h⋅R2)

Dit plus simplement, il y a entre 0 et 4 solutions possibles pour le centre du
cercle C2. Quand elles existent, ce sont les intersections du cercle de centre O
et de rayon (R1-R2) avec les droites d'équation y = h+R2 et y = h−R2.

Plus une ou deux solutions triviales quand même, lorsque R2 = (R1-h)/2
ou R2 = (R1+h)/2.
Une solution triviale si h>0 et deux si h=0.

Post by Olivier Miakinen

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https://i.goopics.net/dgkdc9.png

https://i.goopics.net/wmdidd.png

[kurtz le pirate]

Post by Olivier Miakinen
Commençons par préciser les conditions. Peut-on supposer que 0 < h ≤ R1 et que
R2 < R1 ? Ça me semble indispensable pour que le cercle C2 puisse à la fois être
tangent intérieurement au cercle C1 et tangent à la droite D1.

Oui. Restons simple ;)

Post by Olivier Miakinen
Cela étant posé, pour que C2 soit tangent à C1 il faut que son centre soit sur
le cercle C3 de centre O et de rayon R1−R2. Et pour qu'il soit tangent à D1 il
faut que sa coordonnée y soit h+R2 (si h+2⋅R2 ≤ R1) ou h−R2 (si h−2⋅R2 ≥ −R1,
c'est-à-dire 2⋅R2−h ≥ R1).
En conclusion.
− Si 0 < h < h + 2⋅R2 ≤ R1
y = h+R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h+R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² − 2⋅h⋅R2)
− Si 0 < h ≤ R1 ≤ 2⋅R2 - h
y = h−R2
x = ± racine((R1−R2)² − (h−R2)²) = ± racine(R1² − 2⋅R1⋅R2 − h² + 2⋅h⋅R2)

Je n'ai besoin que d'une seule solution.
Ta solution fonctionne très bien. C'est en fait tout simple.
Pour mes calculs, je suis parti sur des mauvaises piste.


Merci de ton aide !
Ca donne : <Loading Image...>



ps : je vois tes réponses aussi bien chez free que chez pasdenom.

[Olivier Miakinen]

Post by kurtz le pirate
Merci de ton aide !
Ca donne : <https://i.goopics.net/kxiafi.png>
ps : je vois tes réponses aussi bien chez free que chez pasdenom.

Super :-)