cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(4pi/9) = 1/8

[Valeri Astanoff]

Bonjour à tous,

Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...

Merci d'avance

v.a.

[Immae]

En utilisant le fait que cos(x) = 1/2*(exp(i*x) + exp(-i*x)) pour tout
x réel, ça fait quelques calculs mais ça marche.
Sinon, tu peux utiliser cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2, mais ça demandera
peut-être de calculer cos(pi/9) (à vérifier, je n'ai pas essayé)

[Cenekemoi]

Post by Valeri Astanoff
Bonjour à tous,
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...

par exemple : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120445.html

[Valeri Astanoff]

Post by Valeri Astanoff
Bonjour à tous,
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...

par exemple :http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120445.html

Merci pour le lien.
(le "membre geo3" est manifestement assez dégourdi en trigo!)

v.a.

[Michaël Grünewald]

Post by Valeri Astanoff
Bonjour à tous,
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...

Variante:

cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8

[AP]

Post by Michaël Grünewald

Post by Valeri Astanoff
Bonjour à tous,
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...

cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
--
Amusez-vous bien,
Michaël

on a aussi cos(2pi/7)cos(4pi/7)cos(6pi/7)=1/8 :

Soit T_n le poly de Tcheby ( cos(nArccos(x)) pour x dans [-1;1] ; ses
racines sont cos((2k-1)pi/(2n)) pour k=1, 2, n)
on considère T_4(cos(u)) - T_3(cos(u))=cos(4u)-cos(3u)
c'est facile de trouver les valeurs de u annulant cette expression
et on en déduit que 1, cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(6pi/7) sont
racines distinctes de T_4(X)-T_3(X)
or T_4-T_3=8X^4-4X^3-8X^2+3+1 est de degré 4
(note : en divisant par X-1 et en normalisant, on obtient le poly minimal
des trois nombres
cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(6pi/7))

on en déduit (produit des racines) que cos(2pi/7)cos(4pi/7)cos(6pi/7)=1/8

pour cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
idem en considérant T_5-T_4 qui lui est de degré 5

[Michaël Grünewald]

Post by AP

Post by Michaël Grünewald
cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8

pour cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
idem en considérant T_5-T_4 qui lui est de degré 5

Autrement, je suis tombé sur cette relation en développant les cosinus
de Valeri en exponentielles complexes. On trouve 1/8 fois la somme des
racines 9èmes de l'unité hormis 1.

[Jules]

Ou encore, sans faire intervenir la multiplication par 8 sin (Pi/9), un
peu artificielle,mais seulement en connaissant la formule
cos a cos b = 1/2 (cos(a+b) + cos(a-b))

cos Pi/9 cos 2Pi/9 cos 4Pi/9
= 1/2 (cos 5Pi/9 + cos Pi/3)* cos 2Pi/9
= 1/2 cos 5Pi/9 cos 2Pi/9 + 1/4 cos 2Pi/9
= 1/4 (cos 7Pi/9 + cos Pi/3) + 1/4 cos 2Pi/9
= 1/8 + 1/4 (cos 7Pi/9 + cos 2Pi/9)
= 1/8 puisque 7Pi/9 + 2Pi/9 = Pi.

Jules

Post by Valeri Astanoff
Bonjour à tous,
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...
Merci d'avance
v.a.

[Denis Feldmann]

Quelque chose de plus abstrait, donc de plus général : utiliser le
polynôme de Chebyshev qui va bien ( cos(9 Arc cos X) ici, si je ne
m'abuse), dont les racines sont les cos cherchés, et se rappeler de la
formule donnant le produit des racines...

[Michaël Grünewald]

Post by Denis Feldmann
Quelque chose de plus abstrait, donc de plus général : utiliser le
polynôme de Chebyshev qui va bien ( cos(9 Arc cos X) ici, si je ne
m'abuse), dont les racines sont les cos cherchés, et se rappeler de la
formule donnant le produit des racines...

Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonométriques.

[Olivier]

Michaël Grünewald a écrit :
[...]

Post by Michaël Grünewald
Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonométriques.

Sauf que la formeule de récurrence qui donne ces polynômes
est basée sur la formule d'addition -- C'est comme de démontrer
le lemme de Rolle en utilisant les accroissements finis, ce truc --
A.O.

[Michaël Grünewald]

Post by Olivier
[...]

Post by Michaël Grünewald
Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonométriques.

Sauf que la formeule de récurrence qui donne ces polynômes
est basée sur la formule d'addition -- C'est comme de démontrer
le lemme de Rolle en utilisant les accroissements finis, ce truc --

Ah, merci, je n'avais pas réalisé. Mes dernières rencontres avec les
polynômes de Cebycev sont assez lointaines, maintenant.

[Denis Feldmann]

Post by Olivier
[...]

Post by Michaël Grünewald
Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonométriques.

Sauf que la formeule de récurrence qui donne ces polynômes
est basée sur la formule d'addition --

Pas du tout, 1) on les calcule directement en développant (X+iY)^n, puis
en remplaçant Y par sqrt(1-X^2)


C'est comme de démontrer

Post by Olivier
le lemme de Rolle en utilisant les accroissements finis, ce truc --

2) Euh, non, 2) parce qu'on n'explicite pas la factorisation du polynôme

Post by Olivier
A.O.

[Olivier]

Post by Denis Feldmann

Post by Olivier
[...]

Post by Michaël Grünewald
Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonométriques.

Sauf que la formeule de récurrence qui donne ces polynômes
est basée sur la formule d'addition --

Pas du tout, 1) on les calcule directement en développant (X+iY)^n, puis
en remplaçant Y par sqrt(1-X^2)

On peut gloser jusqu'à écoeurement sur quoi yen a être plus simple
que quoi. Je dis que connaître le coefficient constant du 9 ième
polynôme de Tchebyschev est plus compliqué que les transformations
trigo énoncées, et que la formulation des formules d'addition en faisant
le produit de (X+iY)(X'+iY') est équivalente en plus conceptuelle
et en plus compliquée à la formulation élémentaire.
C'est mon avis, donc on s'en fout, point.
O.

[Denis Feldmann]

Post by Olivier

Post by Denis Feldmann

Post by Olivier
[...]

Post by Michaël Grünewald
Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonométriques.

Sauf que la formeule de récurrence qui donne ces polynômes
est basée sur la formule d'addition --

Pas du tout, 1) on les calcule directement en développant (X+iY)^n,
puis en remplaçant Y par sqrt(1-X^2)

On peut gloser jusqu'à écoeurement sur quoi yen a être plus simple
que quoi. Je dis que connaître le coefficient constant du 9 ième
polynôme de Tchebyschev est plus compliqué que les transformations
trigo énoncées,

Non, ce coeff est cos(nArccos 0)=cos(n Pi/2). Si n =41, c'est donc -1 ;
je crains bien que la méthode que tu proposes soit nettement plus longue...

et que la formulation des formules d'addition en faisant

Post by Olivier
le produit de (X+iY)(X'+iY') est équivalente en plus conceptuelle
et en plus compliquée à la formulation élémentaire.

Mouais . Et que Euler, en posant exp(it)=cos t + i sint, disait qq chose
de plus conceptuel et de plus compliqué que la formulation élémentaire

Post by Olivier
C'est mon avis, donc on s'en fout, point.

Ah, d'accord :-)...

Post by Olivier
O.

[Cenekemoi]

Post by Denis Feldmann
Quelque chose de plus abstrait, donc de plus général : utiliser le
polynôme de Chebyshev qui va bien (...)

Encore faut-il le connaître et comme notre ami Valeri ne nous a pas
indiqué le niveau d'études de son neveu...

[l***@gmail.com]

Fallait tout simplement utiliser les formules de Simpson . Désolé j'avais 7ans a cette époque