fonction dérivable non C1

Je cherche une fonction dérivable mais pas C1.
Quelqu'un en connait il une ?
Merci....

Gery Huvent

2003-11-12 15:41:55 UTC

Intégrer une fonction continue mais non dérivable ?

--
Géry Huvent
http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent

Post by wiles
Je cherche une fonction dérivable mais pas C1.
Quelqu'un en connait il une ?
Merci....

José Carlos Santos

2003-11-12 15:54:24 UTC

Post by Gery Huvent
Intégrer une fonction continue mais non dérivable ?

Non: cela donne une fonction de classe C1. Ce qu'il faut intégrer
c'est une fonction intégrable mais pas continue.

Cordialement,

Jose Carlos Santos

--
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Nicolas Richard

2003-11-12 08:02:58 UTC

Post by Gery Huvent
Intégrer une fonction continue mais non dérivable ?

Non: cela donne une fonction de classe C1. Ce qu'il faut intégrer
c'est une fonction intégrable mais pas continue.

Et encore, c'est pas gagné (par exemple int(sgn(x),x=0..t) = |t| qui
n'est pas dérivable)

--
Nico.

José Carlos Santos

2003-11-13 14:55:10 UTC

Post by Nicolas Richard

Post by JosÃ© Carlos Santos
Non: cela donne une fonction de classe C1. Ce qu'il faut intégrer
c'est une fonction intégrable mais pas continue.

Et encore, c'est pas gagné (par exemple int(sgn(x),x=0..t) = |t| qui
n'est pas dérivable)

Tout à fait. Mais, si l'on prend f intégrable (dans le sens de Riemann)
et telle que, pour n'importe quels a et b dans le domaine de f (que je
suppose être un intervalle), si y est dans l'intervalle ]f(a),f(b)[
(ou ]f(b),f(a)[), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f(c) = y. Est-ce
qu'il existe alors une primitive de f?

Cordialement,

José Carlos Santos

Denis Leger

2003-11-14 13:16:26 UTC

Post by Nicolas Richard

Post by JosÃ© Carlos Santos
Non: cela donne une fonction de classe C1. Ce qu'il faut intégrer
c'est une fonction intégrable mais pas continue.

Et encore, c'est pas gagné (par exemple int(sgn(x),x=0..t) = |t| qui
n'est pas dérivable)

Toujours pas, tu peux prendre f(x)=sin(1/x) pour x différent de 0 et f(0)=0.
Elle vérifie tout ce que tu lui demandes mais n'admet pas de primitive sur
un voisinage de 0. Enfin, je crois...

--
Denis Léger

Jose Carlos Santos

2003-11-15 07:58:35 UTC

Post by Denis Leger

Post by JosÃ© Carlos Santos
Tout à fait. Mais, si l'on prend f intégrable (dans le sens de Riemann)
et telle que, pour n'importe quels a et b dans le domaine de f (que je
suppose être un intervalle), si y est dans l'intervalle ]f(a),f(b)[
(ou ]f(b),f(a)[), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f(c) = y. Est-ce
qu'il existe alors une primitive de f?

Toujours pas, tu peux prendre f(x)=sin(1/x) pour x différent de 0 et f(0)=0.
Elle vérifie tout ce que tu lui demandes mais n'admet pas de primitive sur
un voisinage de 0. Enfin, je crois...

Remarque que f(x) = sin(1/x) + 2 x cos(1/x) est pareille mais elle admet
une primitive, notamment x^2 cos(1/x).

Cordialement,

José Carlos Santos

José Carlos Santos

2003-11-15 10:39:47 UTC

Post by Denis Leger
Toujours pas, tu peux prendre f(x)=sin(1/x) pour x différent de 0 et f(0)=0.
Elle vérifie tout ce que tu lui demandes mais n'admet pas de primitive sur
un voisinage de 0. Enfin, je crois...

Remarque que f(x) = sin(1/x) + 2 x cos(1/x) est pareille mais elle admet
une primitive, notamment x^2 cos(1/x).

En fait, elles sont si pareilles, que ceci permet de prover que si on
prend f(x) = sin(1/x) pour x différent de 0 et f(0) = 0, alors f admet
une primitive sur les réels. Soit g une primitive de la fonction
x |-> 2 x cos(1/x) pour x différent de 0 et telle que 0 |-> 0; g existe
car la fonction est continue. Alors, si la fonction F définie par F(0) =
0 et F(x) = x^2 cos(1/x) - g(x) pour x différent de 0, F est une
primitive de f.

Cordialement,

José Carlos Santos

Denis Leger

2003-11-16 14:51:03 UTC

Post by Denis Leger
Toujours pas, tu peux prendre f(x)=sin(1/x) pour x différent de 0 et
f(0)=0. Elle vérifie tout ce que tu lui demandes mais n'admet pas de
primitive sur un voisinage de 0. Enfin, je crois...

Remarque que f(x) = sin(1/x) + 2 x cos(1/x) est pareille mais elle admet
une primitive, notamment x^2 cos(1/x).

Argh ! J'avais bien fait de dire "enfin, je crois..." ;-)

--
Denis Léger

Denis Leger

2003-11-16 19:49:04 UTC

Post by Denis Leger

Post by Denis Leger
Toujours pas, tu peux prendre f(x)=sin(1/x) pour x différent de 0 et
f(0)=0. Elle vérifie tout ce que tu lui demandes mais n'admet pas de
primitive sur un voisinage de 0. Enfin, je crois...

Remarque que f(x) = sin(1/x) + 2 x cos(1/x) est pareille mais elle admet
une primitive, notamment x^2 cos(1/x).

Argh ! J'avais bien fait de dire "enfin, je crois..." ;-)

Mais si je prends f(x)=sin(1/x^2), peut-être que ça fournit enfin un
contre-exemple, non ?

--
Denis Léger (fatigué)

José Carlos Santos

2003-11-17 08:20:45 UTC

Post by Denis Leger

Post by Denis Leger
Toujours pas, tu peux prendre f(x)=sin(1/x) pour x différent de 0 et
f(0)=0. Elle vérifie tout ce que tu lui demandes mais n'admet pas de
primitive sur un voisinage de 0. Enfin, je crois...

Remarque que f(x) = sin(1/x) + 2 x cos(1/x) est pareille mais elle admet
une primitive, notamment x^2 cos(1/x).

Argh ! J'avais bien fait de dire "enfin, je crois..." ;-)

Mais si je prends f(x)=sin(1/x^2), peut-être que ça fournit enfin un
contre-exemple, non ?

Ben, non, car alors si tu prends f(x) = x^3 cos(1/x^2)/2 (avec f(0) =
0), alors f'(x) = 3 x^2 cos(1/x^2)/2 + sin(1/x^2) et donc...

Cordialement,

José Carlos Santos

Denis Leger

2003-11-17 19:38:15 UTC

Post by Denis Leger
Mais si je prends f(x)=sin(1/x^2), peut-être que ça fournit enfin un
contre-exemple, non ?

Ben, non, car alors si tu prends f(x) = x^3 cos(1/x^2)/2 (avec f(0) =
0), alors f'(x) = 3 x^2 cos(1/x^2)/2 + sin(1/x^2) et donc...
Cordialement,
José Carlos Santos

Gasp !

Si je pose f(x)=sin(1/x^a), alors en choisissant g(x)=x^{a+1} sin(1/x^a) on
aura g'(x)=... et ça ne marchera pas.

Et si on posait f(x) = sin(exp(1/x^2)), histoire que ça oscille bien vite ?

--
Denis Léger (pas encore totalement sûr de lui)

Jose Carlos Santos

2003-11-18 12:02:46 UTC

Post by Denis Leger
Et si on posait f(x) = sin(exp(1/x^2)), histoire que ça oscille bien vite ?

Je l'ignore. Mais je sais maintenant quelle est la réponse à la question
que j'ai posé:

Si l'on prend f intégrable (dans le sens de Riemann) et telle que, pour
n'importe quels a et b dans le domaine de f (que je suppose être un
intervalle), si y est dans l'intervalle ]f(a),f(b)[ (ou ]f(b),f(a)[),
alors il existe c dans ]a,b[ tel que f(c) = y. Est-ce qu'il existe alors
une primitive de f?

La réponse est négative et elle m'a été donnée par David Ullrich dans le
newsgroup sci.math. Suppose qu'il existe toujours une telle fonction. Prends
alors une primitive G de la fonction g(x) = sin(1/x) pour x différent de 0
et g(0) = 1. Mais j'ai déjà démontré qu'il existe une primitive F de la
fonction f(x) = sin(1/x) pour x différent de 0 et f(0) = 0. Donc (F - G)'(x)
est 0 pour n'importe quel x différent de 0. Mais alors (F - G)'(0) = 0,
car une dérivée n'a pas de sauts (théorème de Darboux). Ceci est impossible,
car (F - G)'(0) = f(0) - g(0) = -1.

Cordialement,

José Carlos Santos

Denis Leger

2003-11-20 11:10:19 UTC

Post by Denis Leger
Et si on posait f(x) = sin(exp(1/x^2)), histoire que ça oscille bien vite ?

Je l'ignore. Mais je sais maintenant quelle est la réponse à la question
Si l'on prend f intégrable (dans le sens de Riemann) et telle que, pour
n'importe quels a et b dans le domaine de f (que je suppose être un
intervalle), si y est dans l'intervalle ]f(a),f(b)[ (ou ]f(b),f(a)[),
alors il existe c dans ]a,b[ tel que f(c) = y. Est-ce qu'il existe alors
une primitive de f?
La réponse est négative et elle m'a été donnée par David Ullrich dans le
newsgroup sci.math. Suppose qu'il existe toujours une telle fonction.
Prends alors une primitive G de la fonction g(x) = sin(1/x) pour x
différent de 0 et g(0) = 1. Mais j'ai déjà démontré qu'il existe une
primitive F de la fonction f(x) = sin(1/x) pour x différent de 0 et f(0) =
0. Donc (F - G)'(x) est 0 pour n'importe quel x différent de 0. Mais alors
(F - G)'(0) = 0, car une dérivée n'a pas de sauts (théorème de Darboux).
Ceci est impossible, car (F - G)'(0) = f(0) - g(0) = -1.

Finalement, mon contre-exemple était bien utile ;-)

--
Denis Léger, heureux

Horst Kraemer

2003-11-13 10:25:30 UTC

Post by Gery Huvent
Intégrer une fonction continue mais non dérivable ?

Non: cela donne une fonction de classe C1. Ce qu'il faut intégrer
c'est une fonction intégrable mais pas continue.

Si f est intégrable alors la fonction

x
Fa(x) = Int f(t) dt
a

existe et Fa est continue, mais si f n'est pas continue il n'est pas
garanti que F est dérivable

Pire: Il y a des fonctions dérivables telle que la dérivée est bornée
mais pas intégrable (selon l'intégrale de RIEMANN).

--
Horst

joel

2003-11-14 14:22:21 UTC

Horst Kraemer

2003-11-14 23:59:09 UTC

0 si x<0
f(x) =
1 si x<=0

x 0 si x<=0
F(x) = Int f(t) dt =
-1 x si x>=0

F n'est pas une prmitive dans le sens classique (RIEMANN) parce que
F'(0) n'existe pas.

Post by joel
|
| Pire: Il y a des fonctions dérivables telle que la dérivée est bornée
| mais pas intégrable (selon l'intégrale de RIEMANN).

--
Horst

Laurent Demonet

2003-11-12 15:48:37 UTC

Post by wiles
Je cherche une fonction dérivable mais pas C1.
Quelqu'un en connait il une ?
Merci....

x^2 sin 1/x (et 0 en 0) si je ne me trompe.
Laurent

José Carlos Santos

2003-11-12 15:48:46 UTC