Plus grand cercle tangent en un point à une courbe et entièrement du même coté de la courbe

[ast]

Bonjour,

Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une courbe,
(son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas particulier la
courbe traverse son cercle osculateur en un point.

Question:

Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Post by ast
Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une courbe,
(son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas particulier la
courbe traverse son cercle osculateur en un point.
Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

Je dirais qu'une notion existe à partir du moment où quelqu'un y a pensé, donc
cette notion existe au moins depuis ce jeudi 18 avril 2024 à 7 h 27, même s'il
est possible qu'elle ait existé avant.

[ast]

Post by ast
Bonjour,
Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une courbe,
(son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas particulier la
courbe traverse son cercle osculateur en un point.
Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

Pour que ce soit plus intéressant, j'ajoute "dans un voisinage" du point
de contact

[efji]

Post by ast
Bonjour,
Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une courbe,
(son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas particulier la
courbe traverse son cercle osculateur en un point.

??
Pas compris.
Sauf si la courbe est localement un cercle (auquel cas elle est
confondue sur un voisinage avec son cercle tangent), elle ne touche son
cercle tangent qu'en un point (localement toujours, tout ce qui n'est
pas local n'ayant pas de sens). C'est exactement comme la tangente à la
courbe.

Post by ast
Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

Pas compris non plus.

[ast]

Post by efji

Post by ast
Bonjour,
Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une
courbe, (son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas
particulier la courbe traverse son cercle osculateur en un point.

??
Pas compris.
Sauf si la courbe est localement un cercle (auquel cas elle est
confondue sur un voisinage avec son cercle tangent), elle ne touche son
cercle tangent qu'en un point (localement toujours, tout ce qui n'est
pas local n'ayant pas de sens). C'est exactement comme la tangente à la
courbe.

Sur wikipédia:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_osculateur

Paragraphe:
Démonstrations et étude de la position de la courbe et du cercle osculateur

Je cite:
(cas le plus fréquent), la courbe traverse le cercle osculateur en ce
point.

C'est logique pour une courbe dont le rayon de courbure serait croissant
(ou décroissant) le long de la courbe


Je demandais le cercle tangent à une courbe en un point donné de plus
grand rayon possible tel que "localement" au point de contact la courbe
ne traverse pas le cercle.

Post by efji

Post by ast
Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

Pas compris non plus.

[efji]

Post by ast

Post by efji

Post by ast
Bonjour,
Je connais déjà la notion de cercle osculateur en un point d'une
courbe, (son rayon est le rayon de courbure), mais sauf cas
particulier la courbe traverse son cercle osculateur en un point.

??
Pas compris.
Sauf si la courbe est localement un cercle (auquel cas elle est
confondue sur un voisinage avec son cercle tangent), elle ne touche
son cercle tangent qu'en un point (localement toujours, tout ce qui
n'est pas local n'ayant pas de sens). C'est exactement comme la
tangente à la courbe.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_osculateur
Démonstrations et étude de la position de la courbe et du cercle osculateur
(cas le plus fréquent), la courbe traverse le cercle osculateur en ce
point.

Ah ok. Je n'avais pas compris la question.

Post by ast
C'est logique pour une courbe dont le rayon de courbure serait croissant
(ou décroissant) le long de la courbe
Je demandais le cercle tangent à une courbe en un point donné de plus
grand rayon possible tel que "localement" au point de contact la courbe
ne traverse pas le cercle.

Non, il n'y en a pas.
La tangente est le premier terme du développement de Taylor de la
fonction, le cercle osculateur est le second.

Ce que dit la phrase de wikiedia c'est que si le terme d'ordre 3 qui
vient ensuite est non nul (ce qui est le cas le plus fréquent), le
cercle traverse. C'est exactement le même phénomène (dans l'autre sens)
que la tangente qui traverse la courbe lorsque le terme d'ordre 2 est
nul (ce qui est le cas le moins fréquent).

Pour comprendre ce qui se passe il suffit de regarder un polynôme en x=0
car toute fonction régulière peut être vue comme un polynôme localement
(c'est justement son développement de Taylor). Prenons le développement
à l'ordre 3 et supposons f(0)=0 et f'(0)=0 pour simplifier

soit f(x) = bx^2 + cx^3

La tangente en x=0 est la droite y=0
Le cercle osculateur en 0 est le cercle de centre (0,b/2) et de rayon b/2.
Si c=0 c'est un cercle surosculateur (qui ne traverse pas la courbe sauf
si le terme d'ordre 4 qui suit est nul et le terme d'ordre 5 est non
nul...).
Si c!=0 il traverse la courbe.

Regardons maintenant les autres cercles tangents

Les cercles tangents en 0 à ce polynôme sont de rayon r et de centre
(0,r) ou (0,-r). Prenons la première classe (c'est pareil pour l'autre)
: l'équation de la portion de cercle qui touche la courbe est
y = r - \sqrt(r^2-x^2)
On peut en faire le DL en x=0:
y = r-r\sqrt(1-(x/r)^2) = r - r(1 - (x^2)/2r^2) + o(x^2))
= x^2/(2r) + o(x^2)

Il s'agit donc maintenant de comparer f(x) et g(x) = x^2/(2r) en x=0
pour toutes les valeurs de r.
Pour simplifier prenons f(x) = x^2 + x^3

On cherche la plus grande valeur de r telle que le cercle est localement
au dessus de la courbe.

g(x)>f(x) <=> x^2/(2r) > x^2 + x^3
<=> x < -1+1/(2r)

On voit que si r>1/2 il n'y a pas de voisinage de 0 pour lequel la
courbe est en dessous du cercle.
On voit aussi que le sup des r tels qu'il existe un voisinage pour
lequel la courbe est en dessous est r=1/2. On retrouve le cercle
osculateur, ce qui est attendu bien sûr, mais bien sûr aussi le
voisinage de x=0 sur lequel la courbe est en dessous du cercle se réduit
alors au point x=0. La courbe traverse le cercle!

[robby, retransmis par Olivier Miakinen]

Bonjour,

Je retransmets la réponse de robby, qui en ce moment n'a plus accès à usenet
via aucun des deux serveurs qu'il avait configurés.

Post by ast
sauf cas particulier la
courbe traverse son cercle osculateur en un point.

... du moment que le rayon de courbure varie monotonement autour de ce point

Post by ast
Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

je ne vois pas comment ça pourrait avoir un sens (dans le cas général),
sauf à donner la taille de la fenêtre où ça ne doit pas traverser. Donne
moi une taille, et je te donne le cercle. ( a priori dans le cas de
rayon de courbure localement monotone, c'est celui qui passe tangent en
M, et au point de sortie de la fenêtre du côté du rayon de courbure le +
petit ).

[efji]

Bonjour,

il me semble avoir complètement répondu à la question il y a 3 jours.

Post by ast
Bonjour,
Je retransmets la réponse de robby, qui en ce moment n'a plus accès à usenet
via aucun des deux serveurs qu'il avait configurés.

Post by ast
sauf cas particulier la
courbe traverse son cercle osculateur en un point.

... du moment que le rayon de courbure varie monotonement autour de ce point

Post by ast
Est ce que la notion de plus grand cercle tangent en un point à une
courbe et entièrement du même coté concave de la courbe existe ?

La réponse est non

Post by ast
je ne vois pas comment ça pourrait avoir un sens (dans le cas général),
sauf à donner la taille de la fenêtre où ça ne doit pas traverser. Donne

Il n'y a pas de fenêtre.
Il voulait parler de cercles tangents qui traversent la courbe au point
de tangence, comme la tangente à une courbe la traverse en un point
d'inflexion.

La différence c'est que le point d'inflexion est un phénomène "rare",
qui a lieu lorsque le terme d'ordre 2 du développement limité est nul,
alors que le cercle tangent qui traverse est au contraire un phénomène
très fréquent puisqu'il a lieu dès que le terme d'ordre 3 du DL est non nul.

Post by ast
moi une taille, et je te donne le cercle. ( a priori dans le cas de
rayon de courbure localement monotone, c'est celui qui passe tangent en
M, et au point de sortie de la fenêtre du côté du rayon de courbure le +
petit ).

--
F.J.