143

[efji]

143 est un nombre remarquable : c'est le produit de deux nombres
premiers remarquables, mais c'est aussi à ce jour le nombre de messages
dans le fil débile "remarquable".

Eh les ramollis du bulbe, vous pouvez allez discuter de ça ailleurs, par
exemple dans la cour de récréation de l'établissement psychiatrique qui
essaye de vous soigner ?

[Olivier Miakinen]

Post by efji
143 est un nombre remarquable : c'est le produit de deux nombres
premiers remarquables, mais c'est aussi à ce jour le nombre de messages
dans le fil débile "remarquable".

Ah ? Pour moi, le nombre d'articles avec ce titre est égal à 0, qui est
également un entier tout à fait remarquable.

Ce qui suit pourrait-il être la solution à ton problème ?
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[efji]

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
143 est un nombre remarquable : c'est le produit de deux nombres
premiers remarquables, mais c'est aussi à ce jour le nombre de messages
dans le fil débile "remarquable".

Ah ? Pour moi, le nombre d'articles avec ce titre est égal à 0, qui est
également un entier tout à fait remarquable.
Ce qui suit pourrait-il être la solution à ton problème ?
https://i.goopics.net/b3mulj.png

T'inquiète, je ne les vois plus apparaitre automatiquement, mais je vois
les messages de ceux qui remettent une pièce dans la machine. C'était
juste quand même pour dire qu'à un moment il faut prendre ses cachets et
aller se coucher.

[Olivier Miakinen]

Post by efji

Post by Olivier Miakinen
Ce qui suit pourrait-il être la solution à ton problème ?
https://i.goopics.net/b3mulj.png

T'inquiète, je ne les vois plus apparaitre automatiquement,

Bien.

Post by efji
mais je vois
les messages de ceux qui remettent une pièce dans la machine.

C'est que tu as loupé l'action « Ignorer *le sous-fil de discussion* ».

[Dominique]

Post by efji
143 est un nombre remarquable : c'est le produit de deux nombres
premiers remarquables

Pourquoi 143 serait-il remarquable ? Parce que c'est le produit de deux
nombres premiers voisins (11 et 13) ? Ce à quoi 323 (17*19) serait tout
aussi remarquable...

En restant dans ce domaine, j'ai l'impression que passés les couples
jumeaux (2,3) et (3,5), chaque produit de couples jumeaux donne un
chiffre dont l'addition de chacun produit 8 :

227*229 = 51 983, leur somme donne 5+1+9+8+3 = 26 et 2+6 = 8
idem pour 2081*2083 = 4334723 qui conduit à 8
idem pour [8537, 8539] 44 qui conduit à 8...
Idem pour [9929, 9931] 53 qui conduit à 8.

Je pensais avoir fait la découverte du siècle, et puis patatras, c'est
bien connu (voir chapitre « racine numérique ») :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux

Tant pis,, je me serai amusé à écrire un script Python totalement inutile :)

[efji]

Post by Dominique

Post by efji
143 est un nombre remarquable : c'est le produit de deux nombres
premiers remarquables

Pourquoi 143 serait-il remarquable ? Parce que c'est le produit de deux
nombres premiers voisins (11 et 13) ? Ce à quoi 323 (17*19) serait tout
aussi remarquable...
En restant dans ce domaine, j'ai l'impression que passés les couples
jumeaux (2,3) et (3,5), chaque produit de couples jumeaux donne un
227*229 = 51 983, leur somme donne 5+1+9+8+3 = 26 et 2+6 = 8
idem pour 2081*2083 = 4334723 qui conduit à 8
idem pour [8537, 8539] 44 qui conduit à 8...
Idem pour [9929, 9931] 53 qui conduit à 8.
Je pensais avoir fait la découverte du siècle, et puis patatras, c'est
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux
Tant pis,, je me serai amusé à écrire un script Python totalement inutile :)

Mais pas du tout, c'est très joli au contraire.
Bien plus joli que si le fil des débiles mentaux atteint 323 :)

[Dominique]

Post by efji
Mais pas du tout, c'est très joli au contraire.
Bien plus joli que si le fil des débiles mentaux atteint 323 :)

Ça fait un bon moment que j'ai effacé de fil :)

[robby]

Post by Dominique
Pourquoi 143 serait-il remarquable ? Parce que c'est le produit de deux
nombres premiers voisins (11 et 13) ? Ce à quoi 323 (17*19) serait tout
aussi remarquable...

oui, mais c'est que comme chacun d'entre nous, tout nombre est
remarquable à sa façon ;-)

[Olivier Miakinen]

Post by Dominique
En restant dans ce domaine, j'ai l'impression que passés les couples
jumeaux (2,3) et (3,5), chaque produit de couples jumeaux donne un
227*229 = 51 983, leur somme donne 5+1+9+8+3 = 26 et 2+6 = 8
idem pour 2081*2083 = 4334723 qui conduit à 8
idem pour [8537, 8539] 44 qui conduit à 8...
Idem pour [9929, 9931] 53 qui conduit à 8.
Je pensais avoir fait la découverte du siècle, et puis patatras, c'est
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux

:-)

Leur produit étant de la forme (6n+1)(6n−1) = 36n² − 1, ils sont congrus à
−1 modulo 2, modulo 3, modulo 4, modulo 6, modulo 9, modulo 12, modulo 18 et
modulo 36 !

La racine numérique revenant à la congruence modulo 9 (avec un résultat compris
entre 1 et 9), celle-ci est donc 8 puisque −1 ≡ 8 (modulo 9).

Post by Dominique
Tant pis,, je me serai amusé à écrire un script Python totalement inutile :)

Ça te fait toujours un exercice supplémentaire ! :-)

[Dominique]

Post by Olivier Miakinen

Post by Dominique
Tant pis,, je me serai amusé à écrire un script Python totalement inutile :)

Ça te fait toujours un exercice supplémentaire ! :-)

C'est un peu sous cet angle que je code en Python. Je suis retraité
depuis un peu plus de deux ans et l'atterrissage intellectuel m'a
toujours paniqué. Alors j'utilise mes méninges à faire du Python, même
si ça ne sert à rien :)

[Dominique]

Post by Olivier Miakinen
Leur produit étant de la forme (6n+1)(6n−1) = 36n² − 1, ils sont congrus à
−1 modulo 2, modulo 3, modulo 4, modulo 6, modulo 9, modulo 12, modulo 18 et
modulo 36 !
La racine numérique revenant à la congruence modulo 9 (avec un résultat compris
entre 1 et 9), celle-ci est donc 8 puisque −1 ≡ 8 (modulo 9).

Il va me falloir me plonger dans ces notions de modulo et de congruence
qui ne me disent pas grand-chose...

Je rappelle que j'ai bientôt 67 ans et que ma scolarité s'est arrêtée au
BEPC (la 3e, pour être précis)

[robby]

Post by Olivier Miakinen
Leur produit étant de la forme (6n+1)(6n−1) = 36n² − 1, ils sont congrus à
−1 modulo 2, modulo 3, modulo 4, modulo 6, modulo 9, modulo 12, modulo 18 et
modulo 36 !

uh, tu veux développer comment on en arrive a la contrainte de congruence ?
j'ai tj eu des problèmes à cette étape ! :-)

( et raisonnement en espace quotientés en général.
par ex toujours pour mes polynomes de permutation, je butte sur
comprendre et implémenter ça:
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_polynomial#Quadratic_permutation_polynomials_(QPP)_over_finite_rings
)

[Olivier Miakinen]

Post by robby

Post by Olivier Miakinen
Leur produit étant de la forme (6n+1)(6n−1) = 36n² − 1, ils sont congrus à
−1 modulo 2, modulo 3, modulo 4, modulo 6, modulo 9, modulo 12, modulo 18 et
modulo 36 !

uh, tu veux développer comment on en arrive a la contrainte de congruence ?
j'ai tj eu des problèmes à cette étape ! :-)

Pas de problème. Je commence par définir ce que l'on appelle congruence, ce pour
répondre aussi à Dominique.


Pour simplifier commençons par ne traiter que les entiers positifs. Deux entiers
positifs a et b sont congrus modulo N (un autre entier positif) si et seulement
si le reste de la division de a par N et le reste de la division de b par N sont
égaux.

Par exemple, les nombres 307, 427, 30027 et 99997 sont tous congrus modulo 10
puisque le reste de leur division par 10 donne 7. Ils sont congrus *entre eux*
modulo 10, mais bien sûr ils sont aussi congrus à 7 modulo 10, puisque le reste
de la division de 7 par 10 est également 7.

S'agissant des entiers négatifs, la notion de division entière ne marche plus
vraiment, et pourtant les nombres −3, −5003 et −9993 sont aussi congrus à 7
modulo 10. On peut alors utiliser une autre définition, qui fonctionne pour
tous les entiers positifs et négatifs. Deux entiers relatifs a et b sont congrus
modulo un entier positif N, si et seulement si N divise (a − b).

Prenons quelques exemples.
a = 427, b = 307 : a − b = 120 = 12 × 10
a = −3, b = 307 : a − b = −310 = (−31) × 10
a = −3, b = −5003 : a − b = 5000 = 500 × 10


Maintenant je vais expliquer pourquoi les nombres de la forme 36n² − 1 sont
congrus à −1 modulo n'importe quel nombre N dans { 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }.

Tous les nombres de cette liste sont des diviseurs de 36. Par exemple, si je
choisis N = 9, on a N × 4 = 36. Alors, pour montrer que 36n² − 1 est congru
à −1 modulo 9, prenons a = 36n² − 1, b = −1, et N = 9. Il vient :
a − b = (36n² − 1) − (−1) = 36n² − 1 + 1 = 36n² = 4×9 n² = 4n² × 9 = (4n²) × N
On a bien : a − b est un multiple de N, donc a est congru à b modulo N.

Post by robby
( et raisonnement en espace quotientés en général.
par ex toujours pour mes polynomes de permutation, je butte sur
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_polynomial#Quadratic_permutation_polynomials_(QPP)_over_finite_rings
)

Alors là c'est moi qui coince. Et pour commencer je ne suis pas sûr de voir le
rapport avec les congruences modulo N.

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen

Post by robby
uh, tu veux développer comment on en arrive a la contrainte de congruence ?
j'ai tj eu des problèmes à cette étape ! :-)

Pas de problème. Je commence par définir ce que l'on appelle congruence, ce pour
répondre aussi à Dominique.

J'ai oublié de rappeler que, bien que le terme de congruence puisse sembler
un gros mot à ceux qui ne l'ont jamais rencontré, c'est une notion qui est
toute naturelle à partir du moment où on apprend à lire l'heure. En effet,
dire par exemple que « 15 heures » c'est la même chose que « 3 heures de
l'après-midi », ça revient à faire une congruence modulo 12 : 15 est congru
à 3 modulo 12, tout comme 19 est congru à 7 modulo 12 (19 h = 7 h) ou 20
est congru à 8 modulo 12 (20 h = 8 h).

[Dominique]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen

Post by robby
uh, tu veux développer comment on en arrive a la contrainte de congruence ?
j'ai tj eu des problèmes à cette étape ! :-)

Pas de problème. Je commence par définir ce que l'on appelle congruence, ce pour
répondre aussi à Dominique.

J'ai oublié de rappeler que, bien que le terme de congruence puisse sembler
un gros mot à ceux qui ne l'ont jamais rencontré, c'est une notion qui est
toute naturelle à partir du moment où on apprend à lire l'heure. En effet,
dire par exemple que « 15 heures » c'est la même chose que « 3 heures de
l'après-midi », ça revient à faire une congruence modulo 12 : 15 est congru
à 3 modulo 12, tout comme 19 est congru à 7 modulo 12 (19 h = 7 h) ou 20
est congru à 8 modulo 12 (20 h = 8 h).

Cet exemple est très parlant. Merci :)

[robby]

Post by Olivier Miakinen
J'ai oublié de rappeler que, bien que le terme de congruence puisse sembler
un gros mot à ceux qui ne l'ont jamais rencontré, c'est une notion qui est
toute naturelle à partir du moment où on apprend à lire l'heure.

en pratique tout geek connait bien le modulo.
Mais savoir induire des raisonnements math à partir de ça est une autre
paire de manche ! ;-)

[Dominique]

Post by Olivier Miakinen

Post by robby

Post by Olivier Miakinen
Leur produit étant de la forme (6n+1)(6n−1) = 36n² − 1, ils sont congrus à
−1 modulo 2, modulo 3, modulo 4, modulo 6, modulo 9, modulo 12, modulo 18 et
modulo 36 !

uh, tu veux développer comment on en arrive a la contrainte de congruence ?
j'ai tj eu des problèmes à cette étape ! :-)

Pas de problème. Je commence par définir ce que l'on appelle congruence, ce pour
répondre aussi à Dominique.
Pour simplifier commençons par ne traiter que les entiers positifs. Deux entiers
positifs a et b sont congrus modulo N (un autre entier positif) si et seulement
si le reste de la division de a par N et le reste de la division de b par N sont
égaux.
Par exemple, les nombres 307, 427, 30027 et 99997 sont tous congrus modulo 10
puisque le reste de leur division par 10 donne 7. Ils sont congrus *entre eux*
modulo 10, mais bien sûr ils sont aussi congrus à 7 modulo 10, puisque le reste
de la division de 7 par 10 est également 7.
S'agissant des entiers négatifs, la notion de division entière ne marche plus
vraiment, et pourtant les nombres −3, −5003 et −9993 sont aussi congrus à 7
modulo 10. On peut alors utiliser une autre définition, qui fonctionne pour
tous les entiers positifs et négatifs. Deux entiers relatifs a et b sont congrus
modulo un entier positif N, si et seulement si N divise (a − b).
Prenons quelques exemples.
a = 427, b = 307 : a − b = 120 = 12 × 10
a = −3, b = 307 : a − b = −310 = (−31) × 10
a = −3, b = −5003 : a − b = 5000 = 500 × 10
Maintenant je vais expliquer pourquoi les nombres de la forme 36n² − 1 sont
congrus à −1 modulo n'importe quel nombre N dans { 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }.
Tous les nombres de cette liste sont des diviseurs de 36. Par exemple, si je
choisis N = 9, on a N × 4 = 36. Alors, pour montrer que 36n² − 1 est congru
a − b = (36n² − 1) − (−1) = 36n² − 1 + 1 = 36n² = 4×9 n² = 4n² × 9 = (4n²) × N
On a bien : a − b est un multiple de N, donc a est congru à b modulo N.

Merci Olivier. Je connaissais le modulo (le reste de la division
euclidienne), en revanche je découvre la congruence.

Si je comprends bien, tous les nombres dont le reste de la division
euclidienne par N est le même sont congrus. 26 et 1552 sont congrus
modulo 7. En revanche, 29 modulo 8 et 1552 modulo 7 ont le même modulo
mais ne sont pas congrus. Est-ce que j'ai à peu près saisi le principe ?

Si oui, quel est l'intérêt mathématique de cette congruence ?

[Thomas Alexandre]

Post by Dominique
Si je comprends bien, tous les nombres dont le reste de la division
euclidienne par N est le même sont congrus.

Congrus modulo N, oui.

Post by Dominique
26 et 1552 sont congrus modulo 7.

Oui.

Et on peut même pousser le bouchon en construisant l'inverse de chaque
élément "modulo 7" (c'est possible parce que 7 est premier) :

1 x 1 = 1 (mod 7)
2 x 4 = 1 (mod 7)
3 x 5 = 1 (mod 7)
4 x 2 = 1 (mod 7)
5 x 3 = 1 (mod 7)
6 x 6 = 1 (mod 7)

On a des propriétés très rigolotes aussi (là encore parce que 7 est un
nombre premier) :

1 = 2⁶ = 3⁶ = 4⁶ = 5⁶ = 6⁶ (mod 7)

Post by Dominique
En revanche, 29 modulo 8 et 1552 modulo 7 ont le même modulo
mais ne sont pas congrus.

On parle de congruence modulo n *pour un certain n donné*.

Ça n'a pas de sens de parler de "congruence" entre deux entiers dans deux
"modulo" différents.

En revanche on peut s'intéresser pour un certain nombre donné à ses restes
par différents diviseurs :

"Soient des objets en nombre inconnu. Si on les range par 3 il en reste 2.
Si on les range par 5, il en reste 3 et si on les range par 7, il en reste
2. Combien a-t-on d'objets ?"

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

Post by Dominique
Est-ce que j'ai à peu près saisi le principe ?
Si oui, quel est l'intérêt mathématique de cette congruence ?

Plein ! Tous les algorithmes de chiffrement reposent sur de l'arithmétique
modulaire !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_modulaire#Cryptographie

[Olivier Miakinen]

Post by Dominique
Merci Olivier. Je connaissais le modulo (le reste de la division
euclidienne), en revanche je découvre la congruence.

Je ne peux qu'enfoncer le clou après la réponse très précise de Thomas :
parler de « modulo » sans parler de « congruence », ça n'a aucun sens,
de même que parler de « congruence » sans dire « modulo quel nombre ».

Post by Dominique
Si je comprends bien, tous les nombres dont le reste de la division
euclidienne par N est le même sont congrus.

Ils sont congrus *modulo N*. Dire « congrus » sans préciser le modulo ça
ne veut rien dire.

Post by Dominique
26 et 1552 sont congrus modulo 7.

Oui.

Post by Dominique
En revanche, 29 modulo 8 et 1552 modulo 7 ont le même modulo
mais ne sont pas congrus.

Ça, cela n'a aucun sens. Parce que même si 5 est à la fois congru à 29 modulo 8
et à 1552 modulo 7, il y a plein de nombres qui sont congrus à 29 modulo 8 mais
pas à 1552 modulo 7, et réciproquement.

Si tu veux, 29 modulo 8 ce n'est pas 5, mais d'une certaine façon ce serait
plutôt l'ensemble infini :
{ ..., −19, −11, −3, 5, 13, 21, 29, 37, ... }

Et 1552 modulo 7 ce n'est pas 5, mais plutôt l'ensemble infini :
{ ..., −16, −9, −2, 5, 12, 19, 26, 33, ... }

... Sauf qu'en réalité jamais personne ne dit ça. J'essayais seulement de donner
une idée sur la notion sous-jacente. J'espère que c'est plus clair ainsi.

[Dominique]

Post by Olivier Miakinen

Post by Dominique
Merci Olivier. Je connaissais le modulo (le reste de la division
euclidienne), en revanche je découvre la congruence.

parler de « modulo » sans parler de « congruence », ça n'a aucun sens,
de même que parler de « congruence » sans dire « modulo quel nombre ».

Post by Dominique
Si je comprends bien, tous les nombres dont le reste de la division
euclidienne par N est le même sont congrus.

Ils sont congrus *modulo N*. Dire « congrus » sans préciser le modulo ça
ne veut rien dire.

Post by Dominique
26 et 1552 sont congrus modulo 7.

Oui.

Post by Dominique
En revanche, 29 modulo 8 et 1552 modulo 7 ont le même modulo
mais ne sont pas congrus.

Ça, cela n'a aucun sens. Parce que même si 5 est à la fois congru à 29 modulo 8
et à 1552 modulo 7, il y a plein de nombres qui sont congrus à 29 modulo 8 mais
pas à 1552 modulo 7, et réciproquement.
Si tu veux, 29 modulo 8 ce n'est pas 5, mais d'une certaine façon ce serait
{ ..., −19, −11, −3, 5, 13, 21, 29, 37, ... }
{ ..., −16, −9, −2, 5, 12, 19, 26, 33, ... }
... Sauf qu'en réalité jamais personne ne dit ça. J'essayais seulement de donner
une idée sur la notion sous-jacente. J'espère que c'est plus clair ainsi.

Je vus remercie l'un et l'autre pour la clarté de vos explications. Je
me lève moins bête ce matin :)

Je lirai plus tard la page Wikipédia que m'a indiquée Thomas.

Belle journée à vous deux,

[robby]

Post by Olivier Miakinen
Tous les nombres de cette liste sont des diviseurs de 36. Par exemple, si je
choisis N = 9, on a N × 4 = 36. Alors, pour montrer que 36n² − 1 est congru
a − b = (36n² − 1) − (−1) = 36n² − 1 + 1 = 36n² = 4×9 n² = 4n² × 9 = (4n²) × N
On a bien : a − b est un multiple de N, donc a est congru à b modulo N.

ok. et en fait ça marche pour n'importe quel b : 36n² − b, ~ -b

Post by Olivier Miakinen

Post by robby
( et raisonnement en espace quotientés en général.
par ex toujours pour mes polynomes de permutation, je butte sur
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_polynomial#Quadratic_permutation_polynomials_(QPP)_over_finite_rings
)

Alors là c'est moi qui coince. Et pour commencer je ne suis pas sûr de voir le
rapport avec les congruences modulo N.

quand N n'est pas premier, ils travaillent dans le produit des espaces
quotientés par les diviseurs.