taux d'intérêt

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Bonjour,
ce n'est pas du droit...

En effet. Ce serait plutôt des maths, auquel cas le bon groupe me semble
être fr.sci.maths. J'y fais suivre la discussion.

La valeur d'un bien = A
Je sais combien ça va coûter en tout = B
Je sais combien le remboursement va durer = C
Mais je ne sais pas comment trouver le taux d'intérêt. J'ai ouvert une
vingtaine de sites web qui parlent de ces choses, sans trouver la
réponse.

Voici déjà un bon point de départ, mais ça ne répond pas exactement à ta
question : <https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante>.

Quelle est la formule ?

Pour qu'on parle de la même chose, je vais reprendre les notations de la
page de Wikipédia.

Ce que tu appelais A, c'est la valeur du capital emprunté. Notons-la E.
Ce que tu appelais C, c'est le nombre de périodes pour le remboursement : n
Ce que tu appelais B, c'est égal à la valeur de l'annuité constante (qui est
notée A sur la page de Wikipédia) multipliée par le nombre d'annuités n.

Donc, pour reprendre tes termes :
| La valeur d'un bien = E
| Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
| Je sais combien le remboursement va durer = n

Tu cherches le taux d'intéret i, sachant que l'on a la formule :
A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))

On peut la simplifier un peu comme ceci :
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)


Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

[suivi]

[Olivier Miakinen]

Plutôt aller sur un forum de maths. Il y en a un qui est actif
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques/

C'est vrai, mais puisque la question est posée sur usenet-fr, pourquoi
ne pas rediriger vers le forums de maths qui existe sur usenet-fr ? Ne
prétends pas que tu ne connais pas son existence, tu y publies toi-même
assez régulièrement.

[suivi]

[ast]

Post by Olivier Miakinen

Plutôt aller sur un forum de maths. Il y en a un qui est actif
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques/

C'est vrai, mais puisque la question est posée sur usenet-fr, pourquoi
ne pas rediriger vers le forums de maths qui existe sur usenet-fr ? Ne
prétends pas que tu ne connais pas son existence, tu y publies toi-même
assez régulièrement.
[suivi]

oui j'y ai pensé, mais il est de moins en moins actif et avec de plus en
plus de cranks (Richard Hachel ...) .

[Olivier Miakinen]

Post by ast

[suivi vers fr.sci.maths]

oui j'y ai pensé, mais il est de moins en moins actif et avec de plus en
plus de cranks (Richard Hachel ...) .

Il suffit de les ignorer, sachant qu'il y a toujours des intervenants qui
prennent la peine de répondre sérieusement aux questions sérieuses, par
exemple efji et Michel Talon.

[efji]

Post by Olivier Miakinen
Bonjour,

Post by Olivier Miakinen
Bonjour,
ce n'est pas du droit...

En effet. Ce serait plutôt des maths, auquel cas le bon groupe me semble
être fr.sci.maths. J'y fais suivre la discussion.

Post by Olivier Miakinen
La valeur d'un bien = A
Je sais combien ça va coûter en tout = B
Je sais combien le remboursement va durer = C
Mais je ne sais pas comment trouver le taux d'intérêt. J'ai ouvert une
vingtaine de sites web qui parlent de ces choses, sans trouver la
réponse.

Voici déjà un bon point de départ, mais ça ne répond pas exactement à ta
question : <https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante>.

Post by Olivier Miakinen
Quelle est la formule ?

Pour qu'on parle de la même chose, je vais reprendre les notations de la
page de Wikipédia.
Ce que tu appelais A, c'est la valeur du capital emprunté. Notons-la E.
Ce que tu appelais C, c'est le nombre de périodes pour le remboursement : n
Ce que tu appelais B, c'est égal à la valeur de l'annuité constante (qui est
notée A sur la page de Wikipédia) multipliée par le nombre d'annuités n.
| La valeur d'un bien = E
| Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
| Je sais combien le remboursement va durer = n
A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.

Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
habitudes :) Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
(vous n'êtes pas Hachel). Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.

Donc il faut résoudre

1-(1+x)^(-n) = Cx

Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)
Pour tout a réel on a le développement limité suivant à l'ordre 3 en x:

(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)

où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.

Donc ici, pour a=-n, on obtient

1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx
soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore

(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0

qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
vous laisse le faire.

Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
l'approximation au 1er ordre et juste résoudre

(n-C) - n(n+1)x = 0

ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).

[Olivier Miakinen]

Post by efji
[...]

Post by Olivier Miakinen
| La valeur d'un bien = E
| Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
| Je sais combien le remboursement va durer = n
A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.

Je m'en doutais.

Post by efji
Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
habitudes :)

:-D

Post by efji
Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
(vous n'êtes pas Hachel).

La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai
lue sans y trouver d'erreur.
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante#D%C3%A9monstration_de_la_formule>

Post by efji
Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
Donc il faut résoudre
1-(1+x)^(-n) = Cx
Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)

Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 % à
ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000.

Post by efji
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)

Ne manque-t-il pas des 1/k! ?
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir.

Post by efji
où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
Donc ici, pour a=-n, on obtient
1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx
soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore
(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0
qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
vous laisse le faire.
Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
(n-C) - n(n+1)x = 0
ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).

[efji]

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
[...]

Post by Olivier Miakinen
| La valeur d'un bien = E
| Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
| Je sais combien le remboursement va durer = n
A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant i
à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des approximations
successives. Cela dit, il est possible que les vrais mathématiciens qui
lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.

Je m'en doutais.

Post by efji
Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
habitudes :)

:-D

Post by efji
Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
(vous n'êtes pas Hachel).

La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai
lue sans y trouver d'erreur.
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante#D%C3%A9monstration_de_la_formule>

Post by efji
Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
Donc il faut résoudre
1-(1+x)^(-n) = Cx
Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)

Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 % à
ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000.

Post by efji
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)

Ne manque-t-il pas des 1/k! ?
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

ooch oui, désolé, écrit trop vite :)

Donc:

(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

Post by Olivier Miakinen
J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir.

Post by efji
où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
Donc ici, pour a=-n, on obtient
1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

Et ici
1 - (1 - nx + (1/2)n(n+1)x^2 - (1/6)n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore
(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0

corrigé en

(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
vous laisse le faire.
Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
(n-C) - n(n+1)x = 0

en fait (n-C) - n(n+1)x/2
= 0

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).

d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

Une petite erreur d'un facteur 2 sur le taux ce n'est pas négligeable
pour le banquier et le client :)

[Olivier Miakinen]

[explications et calculs avec lesquels je suis d'accord]
d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

Je rappelle que ton C est le E/A de la page de Wikipédia
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante>

Donc le taux x est proche de 2(n−E/A) / n(n+1) au 1er ordre

Une petite erreur d'un facteur 2 sur le taux ce n'est pas négligeable
pour le banquier et le client :)

:-D

Vérifions avec l'exemple donné sur la page de Wikipédia que cette
approximation au 1er ordre donne un résultat pas trop déconnant.

Avec E = 160 000, n = 5 et un taux de 1,20 %, on peut vérifier que :
A = 160 000 × 0,012 / (1 − 1,012^−5) =~ 33 161,16

D'où C =~ 4,825

Et x =~ 2×(5−4,825) / 5×6

x =~ 0,175/15

x =~ 1,17 % (donc pas très loin de 1,20 %)


*********************************************************
Retour aux notations de siger
*********************************************************

La valeur d'un bien = A
Je sais combien ça va coûter en tout = B
Je sais combien le remboursement va durer = C

*********************************************************

Dans la formule calculée par efji, je dois remplacer n par C,
E par A, et A par B/C (donc E/A par AC/B).

Après simplifications, on trouve que la valeur du taux approximée au
premier ordre vaut, avec ces notations :

*****************************
* taux =~ 2(B−A) / B(C+1) *
*****************************

[siger]

Post by Olivier Miakinen

[explications et calculs avec lesquels je suis d'accord]
d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

Je rappelle que ton C est le E/A de la page de Wikipédia
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante>
Donc le taux x est proche de 2(n−E/A) / n(n+1) au 1er ordre

Une petite erreur d'un facteur 2 sur le taux ce n'est pas négligeable
pour le banquier et le client :)

:-D
Vérifions avec l'exemple donné sur la page de Wikipédia que cette
approximation au 1er ordre donne un résultat pas trop déconnant.
A = 160 000 × 0,012 / (1 − 1,012^−5) =~ 33 161,16
D'où C =~ 4,825
Et x =~ 2×(5−4,825) / 5×6
x =~ 0,175/15
x =~ 1,17 % (donc pas très loin de 1,20 %)
*********************************************************
Retour aux notations de siger
*********************************************************

La valeur d'un bien = A
Je sais combien ça va coûter en tout = B
Je sais combien le remboursement va durer = C

*********************************************************
Dans la formule calculée par efji, je dois remplacer n par C,
E par A, et A par B/C (donc E/A par AC/B).
Après simplifications, on trouve que la valeur du taux approximée au
*****************************
* taux =~ 2(B−A) / B(C+1) *
*****************************

Merci, je retrouve la valeur taux = 0,095

[siger]

Post by efji

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
[...]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
La valeur d'un bien = E
Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
Je sais combien le remboursement va durer = n

A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)
Mais à partir de là je ne sais pas s'il existe une formule exacte donnant
i à partir de (1 − (1 + i)^(-n)) / i. Il doit falloir faire des
approximations successives. Cela dit, il est possible que les vrais
mathématiciens qui lisent fr.sci.maths aient une solution que je n'ai pas.

Il n'y a pas de formule exacte sauf pour n<5, mais on peut facilement
trouver une approximation à tout ordre de i lorsque i est petit.

Je m'en doutais.

Post by efji
Permettez-moi de changer la notation car "i réel petit" choque mes
habitudes :)

:-D

Post by efji
Je le remplace par x et je note C=E/A. Je n'ai pas vérifié
ce qui a permis d'établir la dernière formule, je vous fais confiance
(vous n'êtes pas Hachel).

La démonstration de la formule est donnée sur la page Wikipédia. Je l'ai
lue sans y trouver d'erreur.
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A9_constante#D%C3%A9monstration_de_la_formule>

Post by efji
Notez que si les taux sont faibles, C=E/A est
une quantité dont l'ordre de grandeur est n et qui est inférieure à n.
Donc il faut résoudre
1-(1+x)^(-n) = Cx
Il faut faire un développement limité en x (en le supposant petit devant 1)

Oui, x est certainement petit devant 1, de l'ordre de 1/20 (entre 3 % et 6 %
à ce qu'il semble). Alors x³ devrait être de l'ordre de 1/8000.

Post by efji
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)x^2 + a(a-1)(a-2)x^3 + o(x^3)

Ne manque-t-il pas des 1/k! ?
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

ooch oui, désolé, écrit trop vite :)
(1+x)^a = 1 + ax + a(a-1)/2 x^2 + a(a-1)(a-2)/6 x^3 + o(x^3)

Post by Olivier Miakinen
J'arrête ici la lecture, j'ai encore des tas de choses à faire ce soir.

Post by efji
où o(x^3) est une quantité négligeable devant x^3, i.e. telle que
o(x^3)/x^3 -> 0 lorsque x -> 0.
Donc ici, pour a=-n, on obtient
1 - (1 - nx + n(n+1)x^2 - n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

Et ici
1 - (1 - nx + (1/2)n(n+1)x^2 - (1/6)n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3)) = Cx

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
soit
nx - n(n+1)x^2 + n(n+1)(n+2)x^3 + o(x^3) = Cx
ou encore
(n-C) - n(n+1)x + n(n+1)(n+2)x^2 + o(x^2) = 0

corrigé en
(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
qui se résout facilement en négligeant le terme négligeable o(x^2). Je
vous laisse le faire.
Pour des taux d'intérêt très faibles on peut se contenter de
l'approximation au 1er ordre et juste résoudre
(n-C) - n(n+1)x = 0

en fait (n-C) - n(n+1)x/2
= 0

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
ce qui donne x = (n-C)/n(n+1).

d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

Avec mes valeurs :
E = 29191
Total = 35990
n = 3 ans
donc A = 35990 ÷ 3 = 11998

ce qui donne x = 0,095


J'ai entré la formule de Wikipédia dans un tableur et procédé par
tatonnement, comme le propose Olivier. J'arrive à :

taux = 0,1125

[Michel Talon]

Post by siger

Post by efji
d'où x = 2(n-C)/n(n+1) au 1er ordre

E = 29191
Total = 35990
n = 3 ans
donc A = 35990 ÷ 3 = 11998
ce qui donne x = 0,095
J'ai entré la formule de Wikipédia dans un tableur et procédé par
taux = 0,1125

En fait le problème est assez violemment non linéaire, donc je te
propose la petite exploration suivante avec maxima. La formule
n=log(1/(1-C*x))/log(1+x) se déduit facilement de celle qui est donnée
plus haut:
1-(1+x)^(-n) =C*x Evidemment si le taux d' intérêt x vaut zero alors
C=n , sinon on a n > C. Clairement si x se rapproche de 1/C alors n ->
infini. Dans un cas plus réaliste que le tien, pour un prêt sur 20 ans
on voit que le taux est assez sévèrement limité pour ne pas tomber sur n

Post by siger

Post by efji
C. Avec les taux usuels de l'ordre de 3% c'est déjà

sensible puisque 1/C ~1/20=5% Tout cela incite à réfléchir sur les
conséquences,
avantageuses ou pas, des intérêts composés. Donc voici ce que dit
maxima, il faudrait voir le graphe avec une fonte fixe.

(%i1) E:29191$ n:3$ A:35990/3$ C:E/A$

(%i5) 2*(n-C)/(n*(n+1));
6799
(%o5) -----
71980
(%i6) %,numer;
(%o6) 0.09445679355376493
(%i7) nn:log(1/(1-C*x))/log(1+x)$

(%i8) subst(%o6,x,nn);
(%o8) 2.893413942125657 /* Conforme a ton
calcul */
(%i9) subst(.1125,x,nn);
(%o9) 3.000190302035307 /* Idem */
(%i10) set_plot_option ([gnuplot_term,"dumb"])$

(%i11) plot2d(nn,[x,.00001,1/C-.01]);



12 +--------------------------------------------+

| + + + + + + + |

11 |-+ +-|

10 |-+ +-|

| *|

9 |-+ +-|

| * |

8 |-+ *+-|

7 |-+ **+-|

| *** |

6 |-+ ** +-|

| *** |

5 |-+ **** +-|

| ***** |

4 |-+ ******** +-|

3 |-+ *********** +-|

|*****+****+ + + + + + |

2 +--------------------------------------------+

0.00000.0500.10000.1500.20000.25000.3000.35000.40000

Dans la gamme de valeurs de x où on peut considérer que x est petit,
donc on a log(1+x) ~ x mais par contre C*x non négligeable, par
exemple ~ 1/2 on peut simplifier x= (1- e^(-n*x))/C ce qui ne donne
toujours pas n fonction de x, sauf peut être via la fonction de Lambert
avec un changement astucieux.

[efji]

Post by siger

Post by efji

[...]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
La valeur d'un bien = E
Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
Je sais combien le remboursement va durer = n

A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)

x = i
C = E/A

Post by siger

Post by efji
(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0

premier ordre :
(n-C) - n(n+1)x/2 = 0

second ordre
(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 = 0

Post by siger
E = 29191
Total = 35990
n = 3 ans
donc A = 35990 ÷ 3 = 11998

C = E/A = 2.433

Premier ordre :

x = 2(n-C)/(n(n+1)) = 0.0945

Second ordre :

x = (n(n+1)/2 - \sqrt(n^2(n+1)^2/4-2n(n+1)(n+2)(n-C)/3))/(n(n+1)(n+2)/3)
= 0.1174

Je n'ai pas suivi le début mais un taux d'intérêt de 11.74% c'est
carrément du vol de grand chemin.

En effet payer 6800€ d'intérêts pour un prêt de 29000€ sur 3 ans c'est
du grand banditisme :)

Avec des taux plus en rapport avec la réalité actuelle, l'ordre 1 donne
une très bonne approximation.

[siger]

Post by efji

Post by siger

Post by efji

[...]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
La valeur d'un bien = E
Je sais combien ça va coûter en tout = n × A
Je sais combien le remboursement va durer = n

A = E × i / (1 − (1 + i)^(-n))
(1 − (1 + i)^(-n)) / i = E/A (que tu connais)

x = i
C = E/A

Post by siger

Post by efji
(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 + o(x^2) = 0

(n-C) - n(n+1)x/2 = 0
second ordre
(n-C) - n(n+1)x/2 + n(n+1)(n+2)(x^2)/6 = 0

Post by siger
E = 29191
Total = 35990
n = 3 ans
donc A = 35990 ÷ 3 = 11998

C = E/A = 2.433
x = 2(n-C)/(n(n+1)) = 0.0945
x = (n(n+1)/2 - \sqrt(n^2(n+1)^2/4-2n(n+1)(n+2)(n-C)/3))/(n(n+1)(n+2)/3)
= 0.1174

pour info ; est-ce que l'écriture extraite de cette formule :
(n+1)^2/4
est correcte ?
N'y a t-il pas confusion avec : ^(2/4) ?

Post by efji
Je n'ai pas suivi le début mais un taux d'intérêt de 11.74% c'est
carrément du vol de grand chemin.

Oui, c'est ce que je voulais vérifier. Il s'agit d'une Location avec
Option d'Achat :
https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F2437

5060 le premier mois
369 pendant 36 mois
(donc n = 3,08)
puis soit je la laisse et en loue une autre, soit j'ajoute 17667 pour
l'acheter.

Post by efji
En effet payer 6800€ d'intérêts pour un prêt de 29000€ sur 3 ans c'est
du grand banditisme :)
Avec des taux plus en rapport avec la réalité actuelle, l'ordre 1 donne
une très bonne approximation.

Oui.
Merci à tous :-)

[efji]

Post by efji

Post by efji
x = (n(n+1)/2 - \sqrt(n^2(n+1)^2/4-2n(n+1)(n+2)(n-C)/3))/(n(n+1)(n+2)/3)
= 0.1174

(n+1)^2/4
est correcte ?
N'y a t-il pas confusion avec : ^(2/4) ?

Oui c'est correct, pas de confusion possible. Il y a un ordre de
priorité entre les opérateurs algébriques :

^
x et / à égalité
+ et - à égalité

[Michel Talon]

Post by efji
x = 2(n-C)/(n(n+1)) = 0.0945
x = (n(n+1)/2 - \sqrt(n^2(n+1)^2/4-2n(n+1)(n+2)(n-C)/3))/(n(n+1)(n+2)/3)
  = 0.1174

Tant qu'à faire des approximations, autant approximer la formule du
second ordre. Pour x=0 on a n=c, donc le développement est en n-c, comme
le montre la formule du premier ordre.

(%i1) z:(n*(n+1)/2 -
\sqrt(n^2*(n+1)^2/4-2*n*(n+1)*(n+2)*(n-c)/3))/(n*(n+1)*(n+2)/3)$

(%i2) taylor(z,c,n,2);
(%o2) (-(2*(c-n))/(n^2+n))+((4*n+8)*(c-n)^2)/(3*n^4+6*n^3+3*n^2)

et donc la correction du second ordre en (n-c) est:
4(n+2)(n-c)^2/(3n^2(n+1)^2)

Dans le cas numérique en question n=3, c=2.433 elle vaut 0.01488, soit
grosso
modo 1.5% ce qui n'est pas du tout négligeable dans un taux. Le taux
passe de
0.0945 soit 9.5% à 10.9% dans les deux cas des taux très élevés. Et
l'écart avec
11.7% n'est pas non plus négligeable. Donc il me semble qu'il faudrait
aller au moins à l'ordre suivant pour avoir un calcul suffisamment
fiable. Surtout pour
des n bien plus grands, comme 20, où la moindre variation de x a des effets
dramatiques.

[efji]

Post by Michel Talon

Post by efji
x = 2(n-C)/(n(n+1)) = 0.0945
x = (n(n+1)/2 - \sqrt(n^2(n+1)^2/4-2n(n+1)(n+2)(n-C)/3))/(n(n+1)(n+2)/3)
   = 0.1174

Tant qu'à faire des approximations, autant approximer la formule du
second ordre. Pour x=0 on a n=c, donc le développement est en n-c, comme
le montre la formule du premier ordre.
(%i1) z:(n*(n+1)/2 -
\sqrt(n^2*(n+1)^2/4-2*n*(n+1)*(n+2)*(n-c)/3))/(n*(n+1)*(n+2)/3)$
(%i2) taylor(z,c,n,2);
(%o2) (-(2*(c-n))/(n^2+n))+((4*n+8)*(c-n)^2)/(3*n^4+6*n^3+3*n^2)
4(n+2)(n-c)^2/(3n^2(n+1)^2)
Dans le cas numérique en question n=3, c=2.433  elle vaut 0.01488, soit
grosso
modo 1.5% ce qui n'est pas du tout négligeable dans un taux.  Le taux
passe de
0.0945  soit 9.5% à 10.9%  dans les deux cas des taux très élevés.  Et
l'écart avec
11.7% n'est pas non plus négligeable. Donc il me semble qu'il faudrait
aller au moins à l'ordre suivant pour avoir un calcul suffisamment
fiable. Surtout pour
des n bien plus grands, comme 20, où la moindre variation de x a des effets
dramatiques.

Tant qu'à faire on peut aussi résoudre l'équation de départ avec une
méthode itérative, par exemple Newton :

équation de départ :
f(x) = Cx + (1+x)^(-n) - 1 = 0

n = 3
C = E/A = n*29191/35990 = 2.43325

f'(x) = C - n(1+x)^(-n-1)

x_0 = 1.
x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k)

k x_k
0 1.
1 0.30613254892135622
2 0.16802939006796785
3 0.12372492893788849
4 0.11325074414539538
5 0.11247343067246166
6 0.11246895794772889
7 0.11246895779928325
8 0.11246895779928325

La solution exacte est donc 11.247%

Attention de ne pas initialiser avec x_0=0 car 0 est solution aussi de
l'équation de départ :)