équation d'un cercle dans l'espace

[Bruno]

Bonjour,

On sait que, dans le plan, l'équation cartésienne d'un cercle de centre C
(a, b) et de rayon R est : (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2.

Mais comment peut-on trouver une équation cartésienne d'un cercle dans
l'espace ?

Soient un repère (O ; i, j k) de l'espace et un point C (a, b, c). Soit
enfin le cercle de centre C et de rayon R contenu dans le plan z = c. En
représentation paramétrique on peut le décrire par le système d'équations :

x = R cos (t) + a
y = R sin (t) + b
z = c
(où t dans [0, 2.Pi])

Si j'élimine le paramètre t je trouve l'équation cartésienne (x-a)^2 +
(y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2. Mais c'est là l'équation d'une sphère de centre C
et de rayon R.

Ainsi, est-il possible d'avoir une équation cartsienne du type F(x,y,z) = 0
(comme dans le cas du plan) du cercle de centre C et de rayon r contenu dans
le plan z=c ?

Merci.

[nicolas]

Post by Bruno
Si j'élimine le paramètre t je trouve l'équation cartésienne (x-a)^2 +
(y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2. Mais c'est là l'équation d'une sphère de centre C
et de rayon R.

Tu vas avoir du mal à éliminer le paramètre t.

Post by Bruno
Ainsi, est-il possible d'avoir une équation cartsienne du type F(x,y,z) = 0
(comme dans le cas du plan) du cercle de centre C et de rayon r contenu dans
le plan z=c ?

Je verrai plutôt un système de deux équations, par exemple un cylindre
et un plan, ou alors une sphère et un plan.

nicolas patrois : pts noir asocial

[jojolapin]

Post by nicolas

Post by Bruno
Si j'élimine le paramètre t je trouve l'équation cartésienne (x-a)^2 +
(y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2. Mais c'est là l'équation d'une sphère de centre
C et de rayon R.

Tu vas avoir du mal à éliminer le paramètre t.

Post by Bruno
Ainsi, est-il possible d'avoir une équation cartsienne du type F(x,y,z) =
0 (comme dans le cas du plan) du cercle de centre C et de rayon r contenu
dans le plan z=c ?

Je verrai plutôt un système de deux équations, par exemple un cylindre et
un plan, ou alors une sphère et un plan.

On peut mélanger les deux en joant sur x²+y²=0 donne x=y=0 dans les réels


Une équation d'une sphère (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²-R²=0
Une équation d'un plan dx+ey+fz+g=0

Donne [(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²-R²]²+[dx+ey+fz+g]²=0

[brieucs]

bonjour,

Post by Bruno
Ainsi, est-il possible d'avoir une équation cartsienne du type F(x,y,z) = 0
(comme dans le cas du plan) du cercle de centre C et de rayon r contenu dans
le plan z=c ?

une question du meme genre,
une équation G(x,y)=0 dans le plan cartésien
permettrait-elle de définir un point du plan ?

[TraiZeuReux]

Post by brieucs
bonjour,

Post by Bruno
Ainsi, est-il possible d'avoir une équation cartsienne du type F(x,y,z)
= 0 (comme dans le cas du plan) du cercle de centre C et de rayon r
contenu dans le plan z=c ?

une question du meme genre,
une équation G(x,y)=0 dans le plan cartésien permettrait-elle de
définir un point du plan ?

Oui, comme l'a très bien écrit jojolapin :

Si on veut x=a et y=b dans RxR (c'est important) on pose: (x-a)^2+(y-b)
^2=0 et c'est fini.

[brieucs]

hello,

Post by TraiZeuReux

Post by brieucs
une équation G(x,y)=0 dans le plan cartésien permettrait-elle de
définir un point du plan ?

Si on veut x=a et y=b dans RxR (c'est important) on pose: (x-a)^2+(y-b)
^2=0 et c'est fini.

bon, ce qui se passe dans le plan
n'éclaire pas ce qui se passe en 3D;

comment se convaincre, voire prouver,
qu'il faut bien 2 équations pour
déterminer un cercle dans l'espace ?

[bc92]

Post by brieucs
bon, ce qui se passe dans le plan
n'éclaire pas ce qui se passe en 3D;
comment se convaincre, voire prouver,
qu'il faut bien 2 équations pour
déterminer un cercle dans l'espace ?

[(x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2]^2 + (z-c)^2 = 0

Mais cette équation est équivalente à un jeu de deux autres
équations, donc tout ça est un peu un faux problème...

[Olivier]

brieucs a écrit :
[...]

Post by brieucs
comment se convaincre, voire prouver,
qu'il faut bien 2 équations pour
déterminer un cercle dans l'espace ?

Dans R c'est faux.
Dans C, ya ces histoires d'idéaux maximaux etc :-)
A.O.

[Bruno]

Merci pour vos réponses.

Au fond, c'est un peu comme déterminer l'équation cartésienne d'une droite
dans l'espace, on est obligé de passer par un système de deux équations
(intersection de deux plans).

Une chose me chiffone un peu :

Pour simplifier, je vais considérer, dans l'espace, le cercle de centre C
(0,0,1) et de rayon 1.

Son équation paramétrique est, si j'ai bien compris :

x = cos (t)
y = sin (t)
z = 1
(t dans [0, 2.Pi[)

Et quand j'élimite le paramètre t, en faisant :

x^2 = cos^2 (t)
y^2 = sin^2(t)
(z-1)^2 = 0

puis en ajoutant terme à terme, j'obtiens :

x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1

qui est l'équation de la sphère de centre C(0,0,1) et de rayon 1.

C'est bizarre que l'équation paramétrique d'un cercle m'amène à l'équation
d'une sphère. Je pensais qu'une même équation ne représentait qu'une et une
seule courbe ou surface. Comment cela se fait-il ?

Merci.

[jojolapin]

Post by Bruno
Merci pour vos réponses.
Au fond, c'est un peu comme déterminer l'équation cartésienne d'une droite
dans l'espace, on est obligé de passer par un système de deux équations
(intersection de deux plans).
Pour simplifier, je vais considérer, dans l'espace, le cercle de centre C
(0,0,1) et de rayon 1.
x = cos (t)
y = sin (t)
z = 1
(t dans [0, 2.Pi[)
x^2 = cos^2 (t)
y^2 = sin^2(t)
(z-1)^2 = 0
x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1

ton passage n'est pas équivalent

[TraiZeuReux]

Post by Bruno
Merci pour vos réponses.
Au fond, c'est un peu comme déterminer l'équation cartésienne d'une
droite dans l'espace, on est obligé de passer par un système de deux
équations (intersection de deux plans).

Non, on n'est pas OBLIGE. Ou plutôt : ça dépend des contraintes que l'on
s'impose. Soit on veut des équations k-linéaires et là, il faut bien
avouer que l'on ne peut pas caractériser une k-droite dans k^3 avec une
seule forme linéaire (une équation). Il faut un système de deux
équations. Soit on n'impose aucune contrainte alors l'équation A^2+B^2=0
dans IR est équivalente au système de deux équations : l'intersection de
deux plan {A=0 et B=0} et une seule équation (non linéaire : quadratique)
suffit.

Post by Bruno
Pour simplifier, je vais considérer, dans l'espace, le cercle de centre
C (0,0,1) et de rayon 1.
x = cos (t)
y = sin (t)
z = 1
(t dans [0, 2.Pi[)
x^2 = cos^2 (t)
y^2 = sin^2(t)
(z-1)^2 = 0
x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1
qui est l'équation de la sphère de centre C(0,0,1) et de rayon 1.
C'est bizarre que l'équation paramétrique d'un cercle m'amène à
l'équation d'une sphère. Je pensais qu'une même équation ne représentait
qu'une et une seule courbe ou surface. Comment cela se fait-il ?

Et bien : le cercle est INCLUS dans la sphère et puis c'est tout.

Si on considère une équation Q(x,y)=0 alors on peut aussi écrire Q(x,y)*R
(x,y)=0 pour toute fonction R de notre imagination mais les deux
équations ne sont pas équivalentes en général (les solutions de la
seconde CONTIENNENT celles de la première). De même : l'équation A^2+B^2
+C^2=1 n'est pas équivalente au système de 2 équation : A^2+B^2=1 et
Z^2=0 (ou Z=0). La première équation est impliquée par la seconde : on
RAJOUTE des solutions.

Par contre A^2+B^2=0 est équivalent à {A=0 et B=0} sur IR.

Vous pouvez continuer de penser qu'une même équation ne représente
qu'une et une seule courbe ou surface (bon, si on ne change pas le
domaine de définition des variables).

[Michel Talon]

Post by TraiZeuReux
Non, on n'est pas OBLIGE. Ou plutôt : ça dépend des contraintes que l'on
s'impose. Soit on veut des équations k-linéaires et là, il faut bien
avouer que l'on ne peut pas caractériser une k-droite dans k^3 avec une
seule forme linéaire (une équation). Il faut un système de deux
équations. Soit on n'impose aucune contrainte alors l'équation A^2+B^2=0
dans IR est équivalente au système de deux équations : l'intersection de
deux plan {A=0 et B=0} et une seule équation (non linéaire : quadratique)
suffit.

C'est vrai sur R mais c'est profondément stupide de raisonner sur R. Le seul
corps digne de ce nom pour discuter ces choses là c'est C, et sur C un tel
raisonnement est évidemment faux. Sur C il faut bien 2 équations dans un
espace de dimension 3 pour caractériser un objet de dimension 1.

[TraiZeuReux]

Post by Michel Talon
C'est vrai sur R mais c'est profondément stupide de raisonner sur R.

La franchise a du bon.

Le

Post by Michel Talon
seul corps digne de ce nom pour discuter ces choses là c'est C,

La dignité a du bon.

et sur C

Post by Michel Talon
un tel raisonnement est évidemment faux.

La recherche de la vérité a du bon.

Sur C il faut bien 2 équations

Post by Michel Talon
dans un espace de dimension 3 pour caractériser un objet de dimension 1.

Mais je peux toujours écrire (profondément et stupidement) une seule
équation de cercle, dans C^3 avec des modules ... |A|^2+|B|^2=0 est
toujours équivalent à un système de deux équations {A=0; B=0}.

Sans vouloir vous manquer de respect, je crois que nous nous chamaillons
sur un point de détail : nous sommes d'accord sur le principe. Comme je
l'ai déjà écrit : tout dépend des contraintes que l'on se donne sur les
équations.

[Michel Talon]

Post by TraiZeuReux
Mais je peux toujours écrire (profondément et stupidement) une seule
équation de cercle, dans C^3 avec des modules ... |A|^2+|B|^2=0 est
toujours équivalent à un système de deux équations {A=0; B=0}.

Bien sûr, mais dans la pensée habituelle il s'agit d'équations analytiques,
ce qui interdit d'utiliser les complexes conjugués. Je trouve que même d'un
point de vue pédagogique, saper le principe simple: dimension de la
solution = nombre de variables - nombre d'équations indépendantes n'est pas
une bonne chose. Sur C une équation A^2 + B^2 = 0 se factorise en le
produit de deux plans (A+iB)=0, (A-iB)=0, c'est à dire une conique
dégénérée. Le point (0,0) est un point singulier de cette conique, par ce
point passent deux branches de la courbe. Les autres points sont des points
lisses.

[denis feldmann]

Post by Michel Talon

Post by TraiZeuReux
Mais je peux toujours écrire (profondément et stupidement) une seule
équation de cercle, dans C^3 avec des modules ... |A|^2+|B|^2=0 est
toujours équivalent à un système de deux équations {A=0; B=0}.

Bien sûr, mais dans la pensée habituelle il s'agit d'équations analytiques,

Pas algebriques ? Parce que les fonctions analytiques a plusieurs
variables, c'est coton, et je ne suis meme pas sur qu'on ait bien le
genre de resultat de dimensionnalite souhaite pour kes varietes
analytiques ; de toute facom, c'est bien a un modele algebrique qye
pensaient les premiers posteurs...

Post by Michel Talon
ce qui interdit d'utiliser les complexes conjugués. Je trouve que même d'un
point de vue pédagogique, saper le principe simple: dimension de la
solution = nombre de variables - nombre d'équations indépendantes n'est pas
une bonne chose.

Oui, mais c'est dangereux aussi de ne pas faire reflechir sur la
logique des choses. Qqun qui dirait au vu de x2+y2=0 que c'est une
courbe, surtout s'il n'a jamais entendu parler de C, m'inquieterait un
peu quand meme




Sur C une équation A^2 + B^2 = 0 se factorise en le

Post by Michel Talon
produit de deux plans (A+iB)=0, (A-iB)=0, c'est à dire une conique
dégénérée. Le point (0,0) est un point singulier de cette conique, par ce
point passent deux branches de la courbe. Les autres points sont des points
lisses.

Conique comme union de deux plans?? Bon, mais l'idee est claire.
Seulement le caractere lisse, c'est une autre question : dans
l'espace ,A^2 + B^2 + C^2 = 0 nr se factorise pas, et c,est des
histoires de forme quadratique tangente aui prennent le relais......

[Michel Talon]

Post by denis feldmann

Post by Michel Talon
Bien sûr, mais dans la pensée habituelle il s'agit d'équations analytiques,

Pas algebriques ? Parce que les fonctions analytiques a plusieurs
variables, c'est coton, et je ne suis meme pas sur qu'on ait bien le
genre de resultat de dimensionnalite souhaite pour kes varietes
analytiques ; de toute facom, c'est bien a un modele algebrique qye
pensaient les premiers posteurs...

J'ai dit analytique pour qu'on n'aille pas objecter que l'équation avec des
modules est algébrique dans les variables z et zbar. Evidemment ce qui est
usuel, c'est de parler d'équations polynomiales dans la variables z (et
pas zbar). En géométrie projective c'est en fait équivalent, c'est le
théorème de Chow. Si on tolère une exception pour le point à l'infini, je
ne connais pas la différence précise, mais je suppose que polynomial et
analytique deviennent différents, mais sans changer grand chose aux
questions de dimensionnalité, après tout ce n'est que l'application du
théorème des fonctions implicites.

Ce que je voulais dire, c'est que R présente des cas particuliers partout,
comparé à C, et que donc ce n'est pas de bonne pédagogie de commencer par
pinailler sur des cas particuliers au lieu de comprendre le cas général. Et
l'équivalence
x^2+y^2=0 <=> x=y=0
me semble justement le prototype de ces cas particuliers qu'il vaudrait
mieux cacher que mettre en évidence. La géométrie algébrique réélle, les
formes réélles des algèbres de Lie, etc. ce sont autant de sujets avancés
pour mathématiciens professionnels. Un des grands progrès du 19°s a été de
comprendre que la géométrie est bien plus simple sur C et dans le cadre
projectif.

[Etienne Rousee]

Post by Michel Talon
Un des grands progrès du 19°s a été de
comprendre que la géométrie est bien plus simple sur C et dans le cadre
projectif.

Ça me rappelle l'histoire du mec qui cherchait ses clefs au pied du
lampadaire.
"D'accord, c'est pas là que je les ai perdues, mais là, ya d'la lumière !"
:)

[Olivier]

Post by Etienne Rousee

Post by Michel Talon
Un des grands progrès du 19°s a été de
comprendre que la géométrie est bien plus simple sur C et dans le cadre
projectif.

Ça me rappelle l'histoire du mec qui cherchait ses clefs au pied du
lampadaire.
"D'accord, c'est pas là que je les ai perdues, mais là, ya d'la lumière !"
:)

:-D

[TraiZeuReux]

Post by Michel Talon
Ce que je voulais dire, c'est que R présente des cas particuliers
partout, comparé à C, et que donc ce n'est pas de bonne pédagogie de
commencer par pinailler sur des cas particuliers au lieu de comprendre
le cas général. Et l'équivalence
x^2+y^2=0 <=> x=y=0
me semble justement le prototype de ces cas particuliers qu'il vaudrait
mieux cacher que mettre en évidence.

Ben je vais expliquer ça à mes 6èmes en rentrant. En fait C présente la
particularité d'être clos algébriquement et complet, c'en est presque
triste ; alors que ce n'est pas le cas de la plupart des autres corps que
l'on étudie... bref, je pense toujours que nous nous chamaillons sur des
détails.

Quant à l'aspect pédagogique, je ne vois pas l'intérêt de commencer par
introduire des objets purement abstraits (géométrie projective complexe
en tête) quand les motivations sous-jacentes ne sont pas comprises : on
risque de laisser ces gens calculer dans de l'abstract nonsense sans en
connaître l'origine et les avantages. Pire : ils pourraient l'enseigner
ensuite et ainsi renforcer la "tour de Babel" des maths actuelles...

Un exemple qui me vient : comment et pourquoi a-t-on introduit le calcul
sur les idéaux premiers d'un anneau commutatif ?

Ah zut, encore une bonne introduction par Wikipedia qui répond à la
question (surtout l'aspect historique) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al

Mais je vous conseille le très bon mémoire de Maîtrise de Benoît Jacob
sur le théorème de Cebotarev (et surtout les annexes p.22 et 23 pour les
aspects historiques). On peut le trouver ici :
http://www.fimfa.ens.fr/exposes/2002/Jacob02.pdf