Calcul de l'intégrale exp(-ax^2)

[Michel Actis]

Bonjour à tous,

Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini à +l'infini de
f(x) = exp(-ax^2) ?


MA

[Denis Feldmann]

Post by Michel Actis
Bonjour à tous,
Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini à +l'infini de
f(x) = exp(-ax^2) ?

Jacobien? le résutat est bien connu pour a=1 ; le simple changement de
variable X=sqrt(a)x doit suffir...

Post by Michel Actis
MA

[Michel Actis]

"Denis Feldmann" <***@club-internet.fr> a écrit
dans le message de news:
44634af5$0$298$***@news.club-internet.fr...
: Michel Actis a écrit :
: > Bonjour à tous,
: >
: > Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini à
+l'infini de
: > f(x) = exp(-ax^2) ?
: >
:
: Jacobien? le résutat est bien connu pour a=1 ; le simple changement
de
: variable X=sqrt(a)x doit suffir...


Malheureusement ce n'est pas le cas...mais admettons comment calculez
vous l'intégrale de f(x) = exp(-X^2) ?


MA


: >
: > MA
: >

[bc92]

Post by Michel Actis
"Denis Feldmann"

Post by Denis Feldmann

Post by Michel Actis
Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini
à +l'infini de f(x) = exp(-ax^2) ?

Jacobien? le résutat est bien connu pour a=1 ; le simple
changement de variable X=sqrt(a)x doit suffir...

Malheureusement ce n'est pas le cas...mais admettons
comment calculez vous l'intégrale de f(x) = exp(-X^2) ?

Bonjour,
En appelant I cette intégrale, on a
I^2 = somme double sur IR² de exp(-x^2 - y^2) dx dy
On passe en coordonnées polaires et ça s'intègre tout seul.

[Michel Actis]

"bc92" <***@free.fr.invalid> a écrit dans le message de news:
OKL8g.180$***@nntpserver.swip.net...
: Michel Actis a écrit :
: > "Denis Feldmann"
: >> Michel Actis a écrit :
:
: >>> Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini
: >>> à +l'infini de f(x) = exp(-ax^2) ?
:
: >> Jacobien? le résutat est bien connu pour a=1 ; le simple
: >> changement de variable X=sqrt(a)x doit suffir...
:
: > Malheureusement ce n'est pas le cas...mais admettons
: > comment calculez vous l'intégrale de f(x) = exp(-X^2) ?
:
: Bonjour,
: En appelant I cette intégrale, on a
: I^2 = somme double sur IR² de exp(-x^2 - y^2) dx dy
: On passe en coordonnées polaires et ça s'intègre tout seul.

Certes à condition de savoir que dxdy donne pdpdphi en coordonnées
polaire mais en faisant cela comme Monsieur Jourdain vous faites du
Jacobien sans le savoir...

En clair, je cherche une autre méthode que la résolution avec les
coordonnées polaires...


MA


: --
: Cordialement,
: Bruno
:

[cwpbl]

Post by Michel Actis
: >>> Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini
: >>> à +l'infini de f(x) = exp(-ax^2) ?
MA

Si on passe de integrale(-inf, +inf , exp(-x^2)) (I)
à integrale(-inf, +inf , exp(-i*x^2))

Après, on arrive aux intégrales de Fresnel :
integrale(0,+inf, sin(x)/sqrt(x)) ou integrale(0,+inf,sin(x^2))

Or il me semble (souvenir d'études *à confirmer*) qu'on peut calculer
ces intégrales sans connaître la valeur de (I). Si quelqu'un à une idée.

[JH]

Post by cwpbl

Post by Michel Actis
: >>> Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini
: >>> à +l'infini de f(x) = exp(-ax^2) ?
MA

Si on passe de integrale(-inf, +inf , exp(-x^2)) (I)
à integrale(-inf, +inf , exp(-i*x^2))
integrale(0,+inf, sin(x)/sqrt(x)) ou integrale(0,+inf,sin(x^2))
Or il me semble (souvenir d'études *à confirmer*) qu'on peut calculer
ces intégrales sans connaître la valeur de (I). Si quelqu'un à une idée.

Bonjour,

En fait en passant par les intégrales de Fresnel, on se mort un peu la
queue : en effet, la démonstration de

\int_\infty cos(x^2) dx = \int_\infty sin(x^2) dx = sqrt(pi/8)

dépend de l'intégration complexe par un contour en "quart de part de
pizza" de l'intégrale complexe :

\int_\infty exp(-z^2 /2) dz

et donc voilà...


Une autre méthode serait de revenir à la fonction gamma comme exposé ici :
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Mais il faut ensuite calculer la fonction Gamma(3/2)... :)

JH

[Nougy]

Post by Michel Actis
Certes à condition de savoir que dxdy donne pdpdphi en coordonnées
polaire mais en faisant cela comme Monsieur Jourdain vous faites du
Jacobien sans le savoir...

Et les changements de variables en une dimension, c'est aussi du jacobien ?
Car il existe une méthode qui fait appel aux intégrales de Wallis
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grales_de_Wallis#Application_au_calcul_de_l.27int.C3.A9grale_de_Gauss

[JH]

Post by Michel Actis
Bonjour à tous,
Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini à +l'infini de
f(x) = exp(-ax^2) ?
MA

Une propriété intéressante de cette intégrale et que son approximation
par la méthode de la phase stationnaire donne la valeur exacte de
l'intégrale. Ce n'est donc pas une méthode exacte de calcul de cette
intégrale, mais puisque l'approximation de la phase stationnaire est
basée sur un changement de variable gaussien, on retrouve le résultat
exact !

La méthode de la phase stationnaire consiste à calculer le point
stationnaire du terme de l'exponentiel, soit le point qui annule la
dérivée. Ici, c'est clairement x_s = 0

Ensuite on applique la méthode, qui consiste à utiliser l'approximation
suivante : la contribution principale de l'intégrale correspond à la
contribution de l'intégrande au voisinage du point stationnaire :
I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2} dx
= (approx) e^{-a * 0} sqrt(2*pi/(|-2 a|))
= sqrt(pi/a)

Si ça peut vous aider

JH

[Michel Actis]

"JH" <***@hotmail.com> a écrit dans le message de news:
e41e63$6q6$***@news.cict.fr...
: Michel Actis a écrit :
: > Bonjour à tous,
: >
: > Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini à
+l'infini de
: > f(x) = exp(-ax^2) ?
: >
: >
: > MA
: >
:
: Une propriété intéressante de cette intégrale et que son
approximation
: par la méthode de la phase stationnaire donne la valeur exacte de
: l'intégrale. Ce n'est donc pas une méthode exacte de calcul de cette
: intégrale, mais puisque l'approximation de la phase stationnaire est
: basée sur un changement de variable gaussien, on retrouve le
résultat
: exact !
:
: La méthode de la phase stationnaire consiste à calculer le point
: stationnaire du terme de l'exponentiel, soit le point qui annule la
: dérivée. Ici, c'est clairement x_s = 0
:
: Ensuite on applique la méthode, qui consiste à utiliser
l'approximation
: suivante : la contribution principale de l'intégrale correspond à la
: contribution de l'intégrande au voisinage du point stationnaire :
: I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2} dx
: = (approx) e^{-a * 0} sqrt(2*pi/(|-2 a|))
: = sqrt(pi/a)
:
: Si ça peut vous aider
:
: JH

Ok merci je vais explorer cette voie :-)

MA

[JH]

Post by Michel Actis
: > Bonjour à tous,
: >
: > Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini à
+l'infini de
: > f(x) = exp(-ax^2) ?
: >
: >
: > MA
: >
: Une propriété intéressante de cette intégrale et que son
approximation
: par la méthode de la phase stationnaire donne la valeur exacte de
: l'intégrale. Ce n'est donc pas une méthode exacte de calcul de cette
: intégrale, mais puisque l'approximation de la phase stationnaire est
: basée sur un changement de variable gaussien, on retrouve le
résultat
: exact !
: La méthode de la phase stationnaire consiste à calculer le point
: stationnaire du terme de l'exponentiel, soit le point qui annule la
: dérivée. Ici, c'est clairement x_s = 0
: Ensuite on applique la méthode, qui consiste à utiliser
l'approximation
: suivante : la contribution principale de l'intégrale correspond à la
: I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2} dx
: = (approx) e^{-a * 0} sqrt(2*pi/(|-2 a|))
: = sqrt(pi/a)
: Si ça peut vous aider
: JH
Ok merci je vais explorer cette voie :-)

Bien qu'elle ne soit pas terminée, la page :
r.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_la_phase_staonnaire
est un bon point de départ.

Au cas où, cette méthode d'approximation est dérivée de la "méthode de
Laplace".

Maitenant, cela reste une approximation, et de plus, cette approximation
utilise en son sein la valeur de l'intégrale que l'on recherche !! Donc
ce n'est pas une bonne démonstration je pense :)


JH