3oc
2006-01-21 23:18:51 UTC
Je me suis amusé à calculé l'espérance de gain pour la super
cagnotte de 147 millions de vendredi prochain. Rappellons que
l'espérance de gain moyenne à ce jeux est de 1 pour 2 joué.
Quelle est l'influence de la super cagnotte?
Dans l'univers des grilles d'euromillion (cardinal=76 275 360),
considérons qu'il y a une grille gagnante inconnue..., on procède au
tirage au sort d'une grille (cela modélise le jeu dit "flash" et pas
le jeu où le joueur choisit ces numéro en fonction de sa date de
naissance ou a contrario en cherchant à joué des grilles peu joué)
on a:
Je note l'évenement: LA GRILLE POSSEDE 5 BONS NUMEROS ET DEUX BONNE
ETOILES EXACTEMENT par 5**, etc
CARD(5**)=1
CARD(5*)=14
CARD(5-)=21
CARD(4**)=225
CARD(4*)=3 150
CARD(4-)=4 725
CARD(3**)=9 900
CARD(3*)=138 600
CARD(3-)=207 900
CARD(2**)=141 900
CARD(2*)=1 986 600
CARD(1**)=744 975
Ce qui donne, avec une simple hypothèse d'équiprobabilité la
probabilité de chaque évenement.
p(5**)=1/76 275 360
p(5*)=14/76 275 360, etc
Notons que p(5**U5*U5-U4**U......U1**)=1/24 (les évenements sont
disjoints)
Mais qu'elle sera la somme gagnée si l'on gagne? On ne connait pas
cette variable aléatoire.
Aussi on ne peut calculer ainsi l'espérance de gain.
On peut repartir de la règle du jeu fourni par La Française des jeux
qui prévoie d'affecter à chaque rang (exeption faite du premier) un
pourcentage des mises:
pour le rang 5*: 7,4% de 50% des mises
5- : 2,1% de 50%
4**: 1,50%x50%
4*: 1%x50%
4-: 0,7%x50 %
3**: 1%x50%
3*: 5,1% x 50%
3-: 4,7% x 50 %
2**: 4,4% x 50%
2* : 24% x 50 %
1**: 10,1% x 50%
En multipliant par la somme jouée (2) je retrouve le produit de la
probabilité de chacun des évenement par la somme gagnée.
Il suffit donc de caculer cette valeur pour le rang 5** et de faire la
somme pour calculer l'espérance de gain du jeu;
Mais pour le rang 5**; la règle est différente: c'est le principe de
la super cagnotte;
Elle est annoncé à 147 000 000 mais doit être réévaluer, en
fonction du nombre de grilles jouées selon le principe qu'elle est
égale à la supercagnotte de la semaine derniere (127 509 015) plus 8%
des mises.
La prédiction de la française des jeux ( 147 000 000) est basée
sur l'hypothèse que le nombre de grilles jouées sera le même que la
semaine précédente (environ 91 000 000).
Tenons là pour juste dans un premier temps.
Evidemment si vous avez 5 bons numéros et 2 étoiles vous ne gagnez
pas à coût sûr les 147 000 000. Cela ne se produit que si vous êtes
le SEUL a avoir la bonne combinaison.
Calculons les probabilités conditionnelles des évenements de la forme
n personnes ont trouvé la combinaison gagnante sachant que je l'ai
trouvé. Il s'agit d'une Loi Binomiale et avec la base de 91 000 000
grilles jouées cela donne:
pour n= 0: 30,33% (seulement!)
pour n=1: 36,18 %
pour n=2: 21,58%
pour n= 3: 8,58%
pour n=4 : 2,56%
pour n=5 :0,61%
pour n= 6: 0,12%
pour n=7 : 0,02%
pour n= 8: inférieur à 0,01%
Evidemment cela descend vite... il y a peu de chance si vous trouver la
bonne combinaison que vous dussiez partager la cagnote avec 10 autres
joueurs. Mais contrairement à l'intuision (savamment entretenu par la
française des jeux), si vous avez 5**, vous n'avez que 30% de chance
d'être le seul dans ce cas.
Evidemment le gain est à partager par n+1 et la variable aléatoire
qui décrit le gain sachant que vous avez 5** a pour espérance
environ 74 500 000 .
Cela nous permets de compléter note calcul de l'espérance de gain du
jeu: 1,596 pour 2 joué!
Evidemment le jeu n'est toujours pas équitable même si c'est un peu
mieux que les 1/2 habituel.
Par contre dans trois quatre tirages si la supercagnotte ne tombe
pas...
Bref, pour une espérance de gain positive, patienter ou acheter des
actions de la française des jeux!
cagnotte de 147 millions de vendredi prochain. Rappellons que
l'espérance de gain moyenne à ce jeux est de 1 pour 2 joué.
Quelle est l'influence de la super cagnotte?
Dans l'univers des grilles d'euromillion (cardinal=76 275 360),
considérons qu'il y a une grille gagnante inconnue..., on procède au
tirage au sort d'une grille (cela modélise le jeu dit "flash" et pas
le jeu où le joueur choisit ces numéro en fonction de sa date de
naissance ou a contrario en cherchant à joué des grilles peu joué)
on a:
Je note l'évenement: LA GRILLE POSSEDE 5 BONS NUMEROS ET DEUX BONNE
ETOILES EXACTEMENT par 5**, etc
CARD(5**)=1
CARD(5*)=14
CARD(5-)=21
CARD(4**)=225
CARD(4*)=3 150
CARD(4-)=4 725
CARD(3**)=9 900
CARD(3*)=138 600
CARD(3-)=207 900
CARD(2**)=141 900
CARD(2*)=1 986 600
CARD(1**)=744 975
Ce qui donne, avec une simple hypothèse d'équiprobabilité la
probabilité de chaque évenement.
p(5**)=1/76 275 360
p(5*)=14/76 275 360, etc
Notons que p(5**U5*U5-U4**U......U1**)=1/24 (les évenements sont
disjoints)
Mais qu'elle sera la somme gagnée si l'on gagne? On ne connait pas
cette variable aléatoire.
Aussi on ne peut calculer ainsi l'espérance de gain.
On peut repartir de la règle du jeu fourni par La Française des jeux
qui prévoie d'affecter à chaque rang (exeption faite du premier) un
pourcentage des mises:
pour le rang 5*: 7,4% de 50% des mises
5- : 2,1% de 50%
4**: 1,50%x50%
4*: 1%x50%
4-: 0,7%x50 %
3**: 1%x50%
3*: 5,1% x 50%
3-: 4,7% x 50 %
2**: 4,4% x 50%
2* : 24% x 50 %
1**: 10,1% x 50%
En multipliant par la somme jouée (2) je retrouve le produit de la
probabilité de chacun des évenement par la somme gagnée.
Il suffit donc de caculer cette valeur pour le rang 5** et de faire la
somme pour calculer l'espérance de gain du jeu;
Mais pour le rang 5**; la règle est différente: c'est le principe de
la super cagnotte;
Elle est annoncé à 147 000 000 mais doit être réévaluer, en
fonction du nombre de grilles jouées selon le principe qu'elle est
égale à la supercagnotte de la semaine derniere (127 509 015) plus 8%
des mises.
La prédiction de la française des jeux ( 147 000 000) est basée
sur l'hypothèse que le nombre de grilles jouées sera le même que la
semaine précédente (environ 91 000 000).
Tenons là pour juste dans un premier temps.
Evidemment si vous avez 5 bons numéros et 2 étoiles vous ne gagnez
pas à coût sûr les 147 000 000. Cela ne se produit que si vous êtes
le SEUL a avoir la bonne combinaison.
Calculons les probabilités conditionnelles des évenements de la forme
n personnes ont trouvé la combinaison gagnante sachant que je l'ai
trouvé. Il s'agit d'une Loi Binomiale et avec la base de 91 000 000
grilles jouées cela donne:
pour n= 0: 30,33% (seulement!)
pour n=1: 36,18 %
pour n=2: 21,58%
pour n= 3: 8,58%
pour n=4 : 2,56%
pour n=5 :0,61%
pour n= 6: 0,12%
pour n=7 : 0,02%
pour n= 8: inférieur à 0,01%
Evidemment cela descend vite... il y a peu de chance si vous trouver la
bonne combinaison que vous dussiez partager la cagnote avec 10 autres
joueurs. Mais contrairement à l'intuision (savamment entretenu par la
française des jeux), si vous avez 5**, vous n'avez que 30% de chance
d'être le seul dans ce cas.
Evidemment le gain est à partager par n+1 et la variable aléatoire
qui décrit le gain sachant que vous avez 5** a pour espérance
environ 74 500 000 .
Cela nous permets de compléter note calcul de l'espérance de gain du
jeu: 1,596 pour 2 joué!
Evidemment le jeu n'est toujours pas équitable même si c'est un peu
mieux que les 1/2 habituel.
Par contre dans trois quatre tirages si la supercagnotte ne tombe
pas...
Bref, pour une espérance de gain positive, patienter ou acheter des
actions de la française des jeux!