Equations quadratiques

[kurtz le pirate]

Bonjour,

J'ai toujours appris que pour calculer les solutions d'une équation du
deuxième degré, on devait calculer le Delta.

Si il est nul, une racine double, sinon, deux racines distinctes.

En regardant des vidéos sur yt, j'ai découvert une nouvelle méthode de
factorisation faisant intervenir le produit "a * c", puis, en le
décomposant, arriver à ce que la somme soit égal à "b".

Exemple :

x^2 - 3x + 2 = 0;

a = 1, b = -3, c = 2, a*c = 2

2 = 2 * 1, 2 + 1 = 3 ≠ b
2 = -2 * -1, (-2) + (-1) = -3 = b

On peut écrire :
x^2 - 1x - 2x + 2 = 0
x(x - 1) - 2(x - 1) = 0
(x - 1) ( x - 2) = 0
qui donne bien évidement les solutions S = {1, 2}



Ca, c'est le principe.

Mais cette méthode ne semble pas être enseignée chez nous (fr) ? Ou bien
est-elle récente ?

A-t-elle un nom (à par somme/produit) ?

[efji]

Post by kurtz le pirate
Bonjour,
J'ai toujours appris que pour calculer les solutions d'une équation du
deuxième degré, on devait calculer le Delta.
Si il est nul, une racine double, sinon, deux racines distinctes.
En regardant des vidéos sur yt, j'ai découvert une nouvelle méthode de
factorisation faisant intervenir le produit "a * c", puis, en le
décomposant, arriver à ce que la somme soit égal à "b".
    x^2 - 3x + 2 = 0;
a = 1, b = -3, c = 2, a*c = 2

2 =  2 *  1, 2 + 1 = 3 ≠ b
2 = -2 * -1, (-2) + (-1) = -3 = b

x^2 - 1x - 2x + 2 = 0
x(x - 1) - 2(x - 1) = 0
(x - 1) ( x - 2) = 0
qui donne bien évidement les solutions S = {1, 2}
Ca, c'est le principe.
Mais cette méthode ne semble pas être enseignée chez nous (fr) ? Ou bien
est-elle récente ?
A-t-elle un nom (à par somme/produit) ?

Je ne vois pas bien ca qu'il y a de "nouveau".

Sur cet exemple ça revient à intuiter que 1 est racine, et on n'a pas
besoin d'écrire tout ça. Sur un cas plus général sans racine évidente,
si on connait le produit et la somme des racines on reforme une équation
du second degré et on la résout de façon habituelle. Ou alors j'ai raté
un truc ? En tout cas je ne vois pas comment ça pourrait être plus
simple que la méthode classique.
Par exemple sur x^2-x-1 = 0 ?

[kurtz le pirate]

Post by efji
Je ne vois pas bien ca qu'il y a de "nouveau".

La méthode

Post by efji
Sur cet exemple ça revient à intuiter que 1 est racine, et on n'a pas
besoin d'écrire tout ça. Sur un cas plus général sans racine évidente,
si on connait le produit et la somme des racines on reforme une équation
du second degré et on la résout de façon habituelle. Ou alors j'ai raté
un truc ? En tout cas je ne vois pas comment ça pourrait être plus
simple que la méthode classique.
Par exemple sur x^2-x-1 = 0 ?

Je n'ai pas dit que c'était compliqué.
Juste que je n'ai jamais vu cette méthode.

12x^2 + 17x + 6 = 0

Rien d'évident comme racinne la.

a = 12, b = 17, c = 6
a*c = 72.
72 = 8*9 avec 8+9 = 17 = b
-> (x + 8)(x + 9)

mais comme on a multiplié par douze :
(x + 8/12)(x + 9/12)

-> ( x + 2/3)(x + 3/4)
-> Sol = { -2/3, -4/3 }

[efji]

Post by kurtz le pirate

Post by efji
Je ne vois pas bien ca qu'il y a de "nouveau".

La méthode

Post by efji
Sur cet exemple ça revient à intuiter que 1 est racine, et on n'a pas
besoin d'écrire tout ça. Sur un cas plus général sans racine évidente,
si on connait le produit et la somme des racines on reforme une
équation du second degré et on la résout de façon habituelle. Ou alors
j'ai raté un truc ? En tout cas je ne vois pas comment ça pourrait
être plus simple que la méthode classique.
Par exemple sur x^2-x-1 = 0 ?

Je n'ai pas dit que c'était compliqué.
Juste que je n'ai jamais vu cette méthode.
12x^2 + 17x + 6 = 0
Rien d'évident comme racinne la.
a = 12, b = 17, c = 6
a*c = 72.
72 = 8*9 avec 8+9 = 17 = b
-> (x + 8)(x + 9)
(x + 8/12)(x + 9/12)
-> ( x + 2/3)(x + 3/4)
-> Sol = { -2/3, -4/3 }

Oui, de nouveau un exemple bien choisi, avec des racines qui sont des
entiers divisés par a. Mais on fait comment pour x^2-x-1 = 0 ou plus
généralement lorsque la racine du discriminant est irrationnelle ?

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Post by kurtz le pirate
J'ai toujours appris que pour calculer les solutions d'une équation du
deuxième degré, on devait calculer le Delta.

Une autre méthode consiste à compléter le carré :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9tion_du_carr%C3%A9>.

Ça revient au même que le calcul du discriminant, sauf que ça fait un peu
moins « formule magique ».

Post by kurtz le pirate
Si il est nul, une racine double, sinon, deux racines distinctes.

... ces deux racines étant réelles si le discriminant est positif, non
réelles dans le cas contraire.

Post by kurtz le pirate
En regardant des vidéos sur yt, j'ai découvert une nouvelle méthode de
factorisation faisant intervenir le produit "a * c", puis, en le
décomposant, arriver à ce que la somme soit égal à "b".
x^2 - 3x + 2 = 0;
a = 1, b = -3, c = 2, a*c = 2

2 = 2 * 1, 2 + 1 = 3 ≠ b
2 = -2 * -1, (-2) + (-1) = -3 = b

x^2 - 1x - 2x + 2 = 0
x(x - 1) - 2(x - 1) = 0
(x - 1) ( x - 2) = 0
qui donne bien évidement les solutions S = {1, 2}

Ok. Mais cette méthode, outre qu'elle ne trouve que des solutions rationnelles,
me semble un peu compliquée comparée au théorème de la racine rationnelle.
C'est d'autant plus dommage que ledit théorème s'applique aux polynômes de
degré quelconque et pas seulement à ceux de degré 2 :
<https://www.mathweb.fr/euclide/2023/02/08/le-theoreme-de-la-racine-rationnelle/>.

Post by kurtz le pirate
Mais cette méthode ne semble pas être enseignée chez nous (fr) ? Ou bien
est-elle récente ?

Ça je n'en sais rien. Ça fait trop longtemps que j'ai quitté les bancs de
l'école pour dire si c'est enseigné ou (inclusif) si c'est récent. Mais
dans les vidéos de maths que je regarde, que ce soit en anglais ou en
français, je vois principalement utiliser la complétion du carré et la
méthode du discriminant.

Mais ce qui m'étonne le plus, c'est que je ne vois jamais utiliser la méthode
du discriminant réduit, même lorsque b est pair et que a vaut 1 :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9#Discriminant_r%C3%A9duit>.

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen

Si [le discriminant Δ] est nul, une racine double, sinon, deux racines distinctes.

... ces deux racines étant réelles si le discriminant est positif, non
réelles dans le cas contraire.

Ceci dans le cas où les coefficients a, b et c sont tous réels bien sûr.

Mais bien que ça n'ait pas vraiment été précisé par le pirate, le contexte
de toute cette discussion est une équation quadratique à coefficients non
seulement réels mais même entiers.

Post by Olivier Miakinen
[...]
Mais ce qui m'étonne le plus, c'est que je ne vois jamais utiliser la méthode
<https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9#Discriminant_r%C3%A9duit>.

Et cette méthode fonctionne même lorsque les coefficients ne sont pas entiers,
cf. l'exemple donné : √5x² − 6x + √5 = 0

[efji]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen

Si [le discriminant Δ] est nul, une racine double, sinon, deux racines distinctes.

... ces deux racines étant réelles si le discriminant est positif, non
réelles dans le cas contraire.

Ceci dans le cas où les coefficients a, b et c sont tous réels bien sûr.
Mais bien que ça n'ait pas vraiment été précisé par le pirate, le contexte
de toute cette discussion est une équation quadratique à coefficients non
seulement réels mais même entiers.

Post by Olivier Miakinen
[...]
Mais ce qui m'étonne le plus, c'est que je ne vois jamais utiliser la méthode
<https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9#Discriminant_r%C3%A9duit>.

Et cette méthode fonctionne même lorsque les coefficients ne sont pas entiers,
cf. l'exemple donné : √5x² − 6x + √5 = 0

Cette "méthode" c'est juste une division par 4 :)
Inflation du mot "méthode"...

[Olivier Miakinen]

Post by efji

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
Mais ce qui m'étonne le plus, c'est que je ne vois jamais utiliser la méthode
<https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9#Discriminant_r%C3%A9duit>.

Et cette méthode fonctionne même lorsque les coefficients ne sont pas entiers,
cf. l'exemple donné : √5x² − 6x + √5 = 0

Cette "méthode" c'est juste une division par 4 :)

Plus exactement, c'est une façon *d'éviter* une multiplication par 4 puis
une division par 2. Et lorsque le coefficient de x² est 1, cela permet
carrément d'éviter *toute* division.

x² + 2b'x + c = 0

-> x = −b' ± √(b'²−c)

au lieu de x = (−b ± √(b²−4c)) ÷ 2

[Benoît L.]

Post by Olivier Miakinen

Post by efji
Cette "méthode" c'est juste une division par 4 :)

Plus exactement, c'est une façon *d'éviter* une multiplication par 4 puis
une division par 2. Et lorsque le coefficient de x² est 1, cela permet
carrément d'éviter *toute* division.

Idem avec zéro et l’infini.

[Michel Talon]

Post by Olivier Miakinen
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9tion_du_carr%C3%A9>.
Ça revient au même que le calcul du discriminant, sauf que ça fait un peu
moins « formule magique ».

Pour être plus snob, il y a encore une "méthode" illustrant la théorie
de Galois.
Dans l'échange des deux racines x1 et x2 il y a une quantité qui change
de signe,
(x1-x2) et donc (x1-x2)^2 est invariant. Il s'exprime donc en fonction
des coefficients du polynôme. Explicitement
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4 x1 x2 = (-b/a)^2 -4 c/a = (b^2-4ac)/a^2
On reconnaît le discriminant, etc.

La solution de l'équation de degré 3 suit un chemin similaire en
considérant les
permutations de x1 x2 x3 , le sous-groupe des permutations circulaires
qui transforme la "résolvante de Lagrange" x1+ ω x2 + ω^2 x3 par
multiplication par
ω et ω^2 (où ω^3=1, mais ω n'est pas 1) et donc le cube de la
résolvante est in variant. Il y a une deuxième résolvante en transposant
x1 et x2 et donc la somme
et le produit des deux cubes sont complètement invariants donc
s'expriment sur
les coefficients de l'équation, d'où la solution, en résolvant d'abord
une équation du second degré, puis en prenant les racines cubiques des
solutions.

[Python]

Post by Michel Talon

Post by Olivier Miakinen
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9tion_du_carr%C3%A9>.
Ça revient au même que le calcul du discriminant, sauf que ça fait un peu
moins « formule magique ».

Pour être plus snob, il y a encore une "méthode" illustrant la théorie
de Galois.
Dans l'échange des deux racines x1 et x2 il y a une quantité qui change
de signe,
(x1-x2) et donc (x1-x2)^2 est invariant. Il s'exprime donc en fonction
des coefficients du polynôme. Explicitement
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4 x1 x2 = (-b/a)^2 -4 c/a = (b^2-4ac)/a^2
On reconnaît le discriminant, etc.
La solution de l'équation de degré 3 suit un chemin similaire en
considérant les
permutations de x1 x2 x3 , le sous-groupe des permutations circulaires
qui transforme la "résolvante de Lagrange" x1+ ω x2 + ω^2 x3 par
multiplication par
ω et ω^2 (où ω^3=1, mais ω n'est pas 1) et donc le cube de la
résolvante est in variant. Il y a une deuxième résolvante en transposant
x1 et x2 et donc la somme
et le produit des deux cubes sont complètement invariants donc
s'expriment sur
les coefficients de l'équation, d'où la solution, en résolvant d'abord
une équation du second degré, puis en prenant les racines cubiques des
solutions.

Ce n'est pas "snob" du tout ! Au contraire ! Ça permet de "sentir"
l'idée de Galois sur un cas que les étudiants connaissent déjà. C'est
pédagogiquement très bien vu !