arrondir aux points anguleux une courbe continue

[marioski]

bonjour,

Malgré mon ancien niveau de licence de math,je n'arrive pas à arrondir mathématiquement cette courbe:

https://drive.google.com/file/d/1xe-jqjgvz5kk63WKtE3df3wZ2ON4uJ92/view?usp=sharing

à ces 2 points anguleux d'abscisse x=400 et x=500.

Voici les équations de ces 4 courbes en formant une seule visuellement:
C1:sur [0,316],y=0,001*x²
C2:sur [316,400],y=0,001*x²-1,264*x+399,424=0,001*(x-2*316)²
C3:sur[400,500],y=53,824=y2(400)=y4(500)/*un segment horizontal de longueur 100*/
C4:sur[500,732],y=0,001*x²-1,464*x+535,824=0,001*(x-2*316-100)² /*C2 translatée de 100 dans le sens positif horizontal*/

316 est l'abscisse du sommet de la courbe globale

Les 2 seuls points anguleux se trouvent en:
A=400,y2(400)
B=500,y4(500)

Mon problème à résoudre:
créer MATHEMATIQUEMENT 2 mini-courbes continues,paraboliques ou exponentielles
F1 sur [400-1,400+1] reliant C2 à C3
F2 sur [500-1,500+1] reliant C3 à C4
de façon à ARRONDIR ces 2 points anguleux A et B

merci de votre aide

[Olivier Miakinen]

... arrondir mathématiquement cette courbe: ...

Pour quoi faire ?

[Samuel DEVULDER]

Post by Olivier Miakinen

... arrondir mathématiquement cette courbe: ...

Pour quoi faire ?

Je dirais au pif: l'envoyer dans un solveur ou un outil d'optimisation
qui ont besoin d'une dérivée définie et continue en chaque point.

Dans ce cas, la solution peut être de d'abord définir la valeur de la
dérivée en chaque point (c'est facile, on a des paraboles), de combler
les saut par un bout de fonctions linéaires, puis d'intégrer la dérivée
pour retrouver une belle fonction bien lisse qui vérifie les condition
imposées (dérivée continue).

Similairement, si c'est la dérivée seconde qui doit être continue, on
dérive 2 fois, on relie les sauts par des bouts de droite, on intègre
deux fois et voilà c'est tout.

sam.

[robby]

Post by Samuel DEVULDER
Je dirais au pif: l'envoyer dans un solveur ou un outil d'optimisation
qui ont besoin d'une dérivée définie et continue en chaque point.
Dans ce cas, la solution peut être de d'abord définir la valeur de la
dérivée en chaque point (c'est facile, on a des paraboles), de combler
les saut par un bout de fonctions linéaires, puis d'intégrer la dérivée
pour retrouver une belle fonction bien lisse qui vérifie les condition
imposées (dérivée continue).

ben on convolue par une Gaussienne et c'est marre ?

[Samuel DEVULDER]

Post by robby
ben on convolue par une Gaussienne et c'est marre

Ou en physicien, tu te mets un filtre passe bas, ca va lisser ton,
signal, et les points anguleux (hautes fréquences) vont disparaitre.

M'enfin on ne sait toujours pas pourquoi au juste il faut une courbe
"lissée" est-ce pour des problèmes de stabilité numérique (solveur), ou
de réalité physique ?

sam.

[MAIxxxx]

Post by marioski
bonjour,
https://drive.google.com/file/d/1xe-jqjgvz5kk63WKtE3df3wZ2ON4uJ92/view?usp=sharing
à ces 2 points anguleux d'abscisse x=400 et x=500.
C1:sur [0,316],y=0,001*x²
C2:sur [316,400],y=0,001*x²-1,264*x+399,424=0,001*(x-2*316)²
C3:sur[400,500],y=53,824=y2(400)=y4(500)/*un segment horizontal de longueur 100*/
C4:sur[500,732],y=0,001*x²-1,464*x+535,824=0,001*(x-2*316-100)² /*C2 translatée de 100 dans le sens positif horizontal*/
316 est l'abscisse du sommet de la courbe globale
A=400,y2(400)
B=500,y4(500)
créer MATHEMATIQUEMENT 2 mini-courbes continues,paraboliques ou exponentielles
F1 sur [400-1,400+1] reliant C2 à C3
F2 sur [500-1,500+1] reliant C3 à C4
de façon à ARRONDIR ces 2 points anguleux A et B
merci de votre aide

Si on a deux courbes définies par F(x,y)=0 et G(x,y)=0
qui se coupent en un point donné, la courbe F(x,y)*G(x,y) + e = 0
serait une bonne idée de lissage avec e petit.
Quand on travers la courbe F, en général F(x,y) change de signe et passe
par la valeur -e supposée petite. Si F et G sont des droites sécantes,
on aura deux branches d'hyperbole à l'intérieur des angles opposés dont
les droites seront les asymptotes.

On peut généraliser à plus de deux courbes, et pas seulement des
droites. Néanmoins un problème peut se poser au voisinage d'un angle
"saillant" : e ne devrait plus être une constante mais une fonction
s'annulant sans changer de signe au sommet de l'angle. Par exemple e=
e0*[d²/(1+d²)] où d est la distance au point angulaire. Etc.